Valor máximo

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chucu9:
En este caso, me piden calcular el valor máximo de la siguiente función:



Voy a deciros lo que he hecho y lo mirais y me decis qué os parece.

Para calcular el valor máximo tengo que calcular la derivada:



Ahora  tengo que igualar las derivadas a cero, ¿no?

Entonces, si x>0, la solución que obtengo es .
Por otro lado, si x<0, la solución que obtengo es y

¿Esto que he hecho esta bien? La verdad que no se si los últimos pasos están bien o no.

Muchas gracias, un saludo.

escarabajo:
Hola..

Tienes un error al definir la función.

Recorda que si y si

Por lo tanto, la función quedaría así:



Luego hallás la derivada y buscas los que anulen la derivada.

Para cada te fijas el signo de la derivada segunda:

En aquellos en los que habrán máximos relativos.

Lo siguiente es evaluar en esos la función y ver cuál es el mayor de todos, es decir, cual es el más grande.

Pregunta lo que no entiendas, creo que me quedó medio entreverado esto último!

Spoiler (click para mostrar u ocultar)
Fijate que según tus resultados no existiría tal máximo(porque las soluciones te dieron complejas).

Pero este máximo si existe, la función es continua en todo punto, y se cumple que:



Esto garantiza que exista dicho máximo.




Saludos.

chucu9:
Buenos días. Vamos a ver, en cuanto a lo de la función, tienes toda la razón. No he tenido en cuenta el denominador , por lo que por eso me faltaba un caso.

Ahora bien, tomando dicha función calculo su derivada y obtengo lo siguiente (siempre y cuando las cuentas estén bien claro  ;D):



Creo que hasta ahí todo va bien. Ahora, sigo las indicaciones que me has dado antes y busco los que anulen a la derivada. Así, cogo el primer término de la derivada y lo igaualo a cero y obtengo:

, con lo que tengo

Ahora busco la solución del segundo miembro de la función. Así, obtengo la siguiente solución:



Por último igualo a cero el último miembro de la función y obtengo:

y

Entonces con la primera y tercera solución me dicen (como bien me has indicado en el spoiler que no existe el máximo porque tiene soluciones complejas) Por lo tanto, voy a evaluar la segunda derivada según la solución que he obtenido del segundo término, es decir de x=1.

Lo primero es calcular la segunda derivada, que creo que es la siguiente:



Ahora bien, como podeis observar, en el segundo término de la función, mientras que en los otros dos no existe.

Según la indicación que me disteis anteriormente, no obtengo un máximo sino un mínimo.

Seguramente las cuentas no estan bien, pero lo que no se es si lo he realizado correctamente. Lo que no me parece que esté bien es el cálculo que he realizado de los valores donde se anula la primera derivada.

La verdad, no lo se. Si me podeis ayudar os lo agradezco.

Muchas gracias, un saludo.

el_manco:
Hola

 Las cuentas están bien hechas (al menos la primera derivada). La segunda no te hace falta. Simplemente para comprobar si en hay un máximo o un mínimo relativo, estudia el signo de la derivada en un entorno de ese punto. Fíjate que a la derecha de , la derivada es positiva, luego la función creciente; a la izquierda negativa, luego la función decreciente. Así en tienes un mínimo relativo.

 Pero, OJO, eso no quiere decir que la función no tenga máximo. Tus candidatos a máximo son:

 1 - Los puntos donde la función es derivable y se anula la derivada.

 2 - Los límites del intervalo donde está deifnida (en este caso estudiar los límites cuando tiende a más o menos infinito).

 3- Los puntos donde la función NO es derivable.

 Te falta completar entonces ese estudio.

Saludos.

chucu9:
¿Entonces lo que tengo que hacer es calcular la derivabilidad de esta función no?

He dibujado con un programa la gráfica y veo que alcanza el máximo en el 2, pero la verdad es que no se como dar con ello. Es decir, calculo los límites del 2 por la derecha y por la izquierda y obtengo:





Los límites en el dos son distintos. Pero, ¿como puedo llegar a decir que dicho máximo es el 2?

Muchas gracias, un saludo

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