27/06/2019, 01:23:32 am *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Puedes practicar LATEX con el cómodo editor de Latex online
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Entornos y familias de entornos  (Leído 408 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
nico
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Uruguay Uruguay

Mensajes: 479


Ver Perfil
« : 22/02/2019, 12:19:12 pm »

Hola, estoy repasando la definición de entornos y de familia de entornos.

Definición de entorno: Sea [texx](X,\tau)[/texx] un espacio topológico y [texx]x \in{}X[/texx]; [texx]N\subset{}X[/texx], es un entorno de [texx]x[/texx] si existe un abierto [texx]U\in{}\tau[/texx] tal que [texx]x\in{}U \subset{}N[/texx]


Me planteo el siguiente ejemplo, a ver si está bien, considero la topología usual, [texx]N={2}\cup{}[3,4][/texx]  y [texx]X=\mathbb{R}[/texx]

 [texx]\tau =\{(a,b) : a\leq{}b[/texx] ;[texx] a , b \in{}\mathbb{R}\}[/texx] los abiertos de la topología usual pueden ser {1} , (1,2) etc.

Por ejemplo, [texx]N[/texx] es entorno de {2} ; {3} y {4} pero por ejemplo no es entorno de {1} ni de {5} ya qu en estos dos casos que me propuse cómo ejemplo, no existe un abierto de la topología que contenga a esos números y esté contenido en N.

Familias de entornos; Sea [texx]N_x = \{N \subset{} X [/texx]: [texx]N[/texx] es entorno de [texx]x\}
[/texx]

Acá puedo pensar el siguiente ejemplo:

[texx]N_2 = \{ \{2\} ; (3,4) ....., \}[/texx]


Quisiera saber si voy bien...


Saludos


En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 44.501


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 22/02/2019, 12:56:27 pm »

Hola

Hola, estoy repasando la definición de entornos y de familia de entornos.

Definición de entorno: Sea [texx](X,\tau)[/texx] un espacio topológico y [texx]x \in{}X[/texx]; [texx]N\subset{}X[/texx], es un entorno de [texx]x[/texx] si existe un abierto [texx]U\in{}\tau[/texx] tal que [texx]x\in{}U \subset{}N[/texx]

Me planteo el siguiente ejemplo, a ver si está bien, considero la topología usual, [texx]N={2}\cup{}[3,4][/texx]  y [texx]X=\mathbb{R}[/texx]

 [texx]\tau =\{(a,b) : a\leq{}b[/texx] ;[texx] a , b \in{}\mathbb{R}\}[/texx] los abiertos de la topología usual pueden ser {1} , (1,2) etc.

En primer lugar, esa no es la topología usual. De hecho esa familia de conjuntos que pones ahí no es una topología: por ejemplo si unes [texx](0,1)[/texx] con [texx](2,3)[/texx] te da [texx](0,1)\cup(2,3)[/texx] que no está en [texx]\tau[/texx].

Lo que has escrito ahí es una base de la topología usual, que es distinto: los abiertos de la topología usual son uniones arbitrarias de intervalos abiertos.

En segundo lugar, [texx]\{1\}[/texx] no es un abierto de la topología usual (no contiene ningún intervalo abierto).

Cita
Por ejemplo, [texx]N[/texx] es entorno de {2} ; {3} y {4} pero por ejemplo no es entorno de {1} ni de {5} ya qu en estos dos casos que me propuse cómo ejemplo, no existe un abierto de la topología que contenga a esos números y esté contenido en N.

Entonces [texx]N=\{2\}\cup [3,4][/texx] no es un entorno de [texx]2[/texx], ni de [texx]3[/texx], ni de [texx]4[/texx], porque no existe ningún abierto que contenta a [texx]2[/texx], [texx]3[/texx] o [texx]4[/texx] que esté dentro de [texx]N[/texx].

Por el contrario [texx]N[/texx] si es entorno de cualquier punto [texx]x\in (3,4)[/texx], precisamente porque [texx]x\in (3,4)\subset N[/texx].

Es importante que tengas claro todo esto antes de seguir. Sobre todo cuál es la topología usual, que es la fuente primera de ejemplos en topología.

Saludos.
En línea
nico
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Uruguay Uruguay

Mensajes: 479


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 22/02/2019, 01:40:02 pm »

Hola si es necesario que enitienda bien todas estas cuestiones básica.

bien entonces escribí una base para la topología usual, ahora la topología usual sería ¿cual sería?

¿La topología usual sería el conjunto de partes de los reales?



En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 44.501


Ver Perfil
« Respuesta #3 : 22/02/2019, 04:13:29 pm »

Hola

bien entonces escribí una base para la topología usual, ahora la topología usual sería ¿cual sería?

¡Te lo comenté antes!  :cara_de_queso:

Cita
Lo que has escrito ahí es una base de la topología usual, que es distinto: los abiertos de la topología usual son uniones arbitrarias de intervalos abiertos.

Cualquier conjunto que se pueda escribir como unión finita o infinita de intervalos abiertos.

Cita
¿La topología usual sería el conjunto de partes de los reales?

¡No! Eso sería la topología discreta. Todo conjunto sería abierto.

Normalmente se estudia la topología usual en el contexto de espacios métricos antes de los conceptos de topología general. ¿No los has estudiado?.

Saludos.
En línea
nico
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Uruguay Uruguay

Mensajes: 479


Ver Perfil
« Respuesta #4 : 22/02/2019, 08:12:27 pm »

Hola Luis, si estuve estudiando espacios métricos, antes  :sonrisa_amplia:

Voy a seguir leyendo.

Muchas gracias.

Saludos
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!