Hola
Tengo esta idea:
Como [texx]g[/texx] es continua y decreciente y [texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{g(x)}=0[/texx] entonces [texx]\displaystyle\int_{a}^{\infty}g(x)[/texx] converge.
Eso es falso. Por ejemplo [texx]g(x)=\dfrac{1}{x}[/texx] es decreciente, cumple [texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{g(x)}=0[/texx] y sin embargo [texx]\displaystyle\int_{2}^{\infty}g(x)[/texx] NO converge.
Lo que tienes es que por tener [texx]g(x)[/texx] límite cero en el infinito, dado [texx]\epsilon'>0[/texx] existe [texx]M>0[/texx] tal que:
[texx]x>M\quad \Rightarrow\quad |g(x)|<\epsilon'[/texx]
Entonces tomando [texx]\epsilon'=\epsilon/K[/texx], si [texx]d>c>M[/texx] se tiene que:
[texx]\left |{\displaystyle\int_{c}^{d}f(x)g(x)dx}\right |\leq \epsilon'\left |{\displaystyle\int_{c}^{d}f(x)dx}\right |\leq K\epsilon'=\epsilon[/texx]
Saludos.