Integral impropia y criterio de Cauchy

[lcdeoro]

Sean [texx]f,g: [a, +\infty]\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx] continuas y [texx]K>0[/texx] tal que [texx]\left |{\displaystyle\int_{c}^{d}f(x) dx}\right |\leq{K}[/texx] para cualquier [texx]c,d\in{}[a, +\infty][/texx]. Sí [texx]g\in{C^1}[/texx] y decreciente, con [texx]\displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{g(x)=0}[/texx]. Probar que existe el límite:

[texx]\displaystyle\int_{a}^{\infty}f(x)g(x) dx=\displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)g(t) dt}[/texx].


Bueno, me dan la sugerencia de utilizar el criterio de Cauchy. Donde me piden que muestre lo siguiente: [texx]\forall{\epsilon>0} \ \exists{A>a}[/texx] tal que [texx]A<c<d \ \Longrightarrow{} \left |{\displaystyle\int_{c}^{d}f(x)g(x)dx}\right |<\epsilon[/texx]

Suponiendo que ya haya demostrado esa sugerencia, es decir, que ya la pueda utilizar como hipótesis, mi pregunta es cómo la utilizo para demostrar la existencia de dicho límite, porque lo que yo puedo ver con esta sugerencia es que [texx]\displaystyle\lim_{x \to{}d}{f(x)g(x)}[/texx] converge, pero no estoy muy seguro si eso sea correcto.
 

[Luis Fuentes]

Hola

 Una vez que pruebes la sugerencia aquí tienes como terminar:

http://fernandorevilla.es/blog/2015/03/30/criterio-de-cauchy-para-integrales-impropias-en-intervalos-infinitos/

Saludos.

P.D. En el enunciado tienes una errata:

Sean [texx]f,g: [a, +\infty]\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx] continuas y [texx]K>0[/texx] tal que [texx]\left |{\displaystyle\int_{a}^{b}f(x) dx}\right |\leq{K}[/texx] para cualquier [texx]c,d\in{}[a, +\infty][/texx]. Sí [texx]g\in{C^1}[/texx] y decreciente, con [texx]\displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{g(x)=0}[/texx]. Probar que existe el límite:

Es: [texx]\left |{\displaystyle\int_{c}^{d}f(x) dx}\right |\leq{K}[/texx]

[lcdeoro]

Tengo esta idea:

Como [texx]g[/texx] es continua y decreciente y [texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{g(x)}=0[/texx] entonces [texx]\displaystyle\int_{a}^{\infty}g(x)[/texx] converge.

Entonces [texx]\forall{\epsilon>0} \ \exists{A>a}[/texx] tal que [texx]A<c<d[/texx] y tenemos que [texx]\left |{\displaystyle\int_{c}^{d}g(x)dx}\right |<\epsilon[/texx] y por hipotesis tenemos que [texx]\left |{\displaystyle\int_{c}^{d}f(x)dx}\right |\leq{K}[/texx]

Entonces [texx]\left |{\displaystyle\int_{c}^{d}f(x)g(x)dx}\right |\leq{\left |{\displaystyle\int_{c}^{d}f(x)dx}\right |}\left |{\displaystyle\int_{c}^{d}g(x)dx}\right |<K\epsilon=\epsilon[/texx], si tomamos [texx]\epsilon=\displaystyle\frac{1}{K}[/texx]

Luego por el citerio de cauchy [texx]\displaystyle\int_{a}^{\infty}f(x)g(x)dx[/texx] es convergente, luego el límite existe y es igual a  [texx]\displaystyle\lim_{x \to\infty}{\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)g(t)dt}=\displaystyle\int_{a}^{\infty}f(x)g(x)dx[/texx]

Quién me hace el favor de verificar?

[Luis Fuentes]

Hola

Tengo esta idea:

Como [texx]g[/texx] es continua y decreciente y [texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{g(x)}=0[/texx] entonces [texx]\displaystyle\int_{a}^{\infty}g(x)[/texx] converge.

Eso es falso. Por ejemplo [texx]g(x)=\dfrac{1}{x}[/texx] es decreciente, cumple [texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{g(x)}=0[/texx] y sin embargo [texx]\displaystyle\int_{2}^{\infty}g(x)[/texx] NO converge.

Lo que tienes es que por tener [texx]g(x)[/texx] límite cero en el infinito, dado [texx]\epsilon'>0[/texx] existe [texx]M>0[/texx] tal que:

[texx]x>M\quad \Rightarrow\quad |g(x)|<\epsilon'[/texx]

Entonces tomando [texx]\epsilon'=\epsilon/K[/texx], si [texx]d>c>M[/texx] se tiene que:

[texx]\left |{\displaystyle\int_{c}^{d}f(x)g(x)dx}\right |\leq \epsilon'\left |{\displaystyle\int_{c}^{d}f(x)dx}\right |\leq K\epsilon'=\epsilon[/texx]

Saludos.