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Autor Tema: Compacidad y cerrados  (Leído 213 veces)
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RodriStone
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« : 22/02/2019, 01:36:36 pm »

Sea [texx]K \subseteq{}\mathbb{R^n}[/texx] un conjunto compacto.
Si [texx]K \supset{}A_1\supset{}A_2\supset{}A_3 \supset{}...\supset{}A_n\supset{}\ldots [/texx]..., con [texx]A_n[/texx] cerrado [texx]\forall{} n[/texx] natural .
Probar que se pueden tener una de las dos cosas:

 o bien [texx]\exists n_0[/texx] tal que [texx]A_{n_0}=\emptyset[/texx]
 o bien [texx]\cap A_n\neq \emptyset[/texx]
 
Necesito ayuda, me trabé usando cubrimientos por abiertos; díganme si hay alguna forma más directa.

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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 22/02/2019, 04:38:26 pm »

Hola

 Cuando escribas no pongas todo entre [tex][/tex]; sólo las fórmulas. Mira como lo hice al corregir tu mensaje:

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

 Simplemente si [texx]\cap A_n=\emptyset[/texx] comprueba que la familia [texx]B_k=K-A_k[/texx] es un subrecubrimiento por abiertos de [texx]K[/texx]. Por ser compacto puedes extraer un subrecubrimiento finito [texx]B_1,B_2,\ldots,B_{n_0}[/texx]. Dado que cada [texx]B_i\subset B_{i+1}[/texx] deduce que [texx]B_{n_0}=K[/texx] y por tanto [texx]A_{n_0}=\emptyset[/texx].

Saludos.
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