Todo conjunto de medida nula tiene interior vacío?

[lcdeoro]

¿Todo conjunto de medida nula tiene interior vacío? tengo esa duda y cómo más o menos sería una prueba?

[Luis Fuentes]

Hola

¿Todo conjunto de medida nula tiene interior vacío? tengo esa duda y cómo más o menos sería una prueba?

Si (con la medida de Lebesgue). Si tiene interior no vacío contiene una bola abierta; y una bola abierta tiene medida no nula.

Saludos.

[lcdeoro]

Si lo escribiera en forma de demostración estaría bien así:

Razonando por negación.

Sea [texx]D[/texx] un conjunto con interior no vacío, luego existe una bola abierta [texx]B[/texx]  tal que [texx]B\subseteq{D}, \ B\neq{\emptyset}[/texx]

Pero toda bola abierta tiene medida no nula, entonces [texx]D[/texx] tiene medida no nula, por consiguiente se tiene que para todo conjunto conjunto de medida nula tiene interior vacío.

[Luis Fuentes]

Hola

Si lo escribiera en forma de demostración estaría bien así:

Razonando por negación.

Sea [texx]D[/texx] un conjunto con interior no vacío, luego existe una bola abierta [texx]B[/texx]  tal que [texx]B\subseteq{D}, \ B\neq{\emptyset}[/texx]

Pero toda bola abierta tiene medida no nula, entonces [texx]D[/texx] tiene medida no nula, por consiguiente se tiene que para todo conjunto conjunto de medida nula tiene interior vacío.

Si; en esa última parte usas que [texx]B\subset D\quad \Rightarrow{}\quad m(B)\leq m(D)[/texx] y que por ser bola abierta [texx]m(B)>0[/texx].

Saludos.