Hola
Si lo escribiera en forma de demostración estaría bien así:
Razonando por negación.
Sea [texx]D[/texx] un conjunto con interior no vacío, luego existe una bola abierta [texx]B[/texx] tal que [texx]B\subseteq{D}, \ B\neq{\emptyset}[/texx]
Pero toda bola abierta tiene medida no nula, entonces [texx]D[/texx] tiene medida no nula, por consiguiente se tiene que para todo conjunto conjunto de medida nula tiene interior vacío.
Si; en esa última parte usas que [texx]B\subset D\quad \Rightarrow{}\quad m(B)\leq m(D)[/texx] y que por ser bola abierta [texx]m(B)>0[/texx].
Saludos.