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Autor Tema: Espacios métricos equivalentes  (Leído 551 veces)
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nico
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« : 21/02/2019, 12:01:47 am »

Hola me piden probar que los espacios métricos [texx](\mathbb{R}^n , d_1)[/texx]; [texx](\mathbb{R}^n , d_2)[/texx] ; [texx](\mathbb{R}^n , d_\infty)[/texx] son equivalentes.

Quiero usar que un subconjunto A es abierto si y sólo si A es unión de abiertos, ya que la definición de métricas equivalentes dice que A es abierto en [texx]d_1[/texx] si y sólo si es abierto en [texx]d_2[/texx]

Me podrían ayudar.

Saludos
 
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 21/02/2019, 04:17:42 am »

Hola

Hola me piden probar que los espacios métricos [texx](\mathbb{R}^n , d_1)[/texx]; [texx](\mathbb{R}^n , d_2)[/texx] ; [texx](\mathbb{R}^n , d_\infty)[/texx] son equivalentes.

Quiero usar que un subconjunto A es abierto si y sólo si A es unión de abiertos, ya que la definición de métricas equivalentes dice que A es abierto en [texx]d_1[/texx] si y sólo si es abierto en [texx]d_2[/texx]

Para ver que dos espacios métricos son equivalentes, es decir, definien la misma topología basta que muestres que dentro de una bola de cada uno de ellos siempre puedes meter otra del otro centrada en el mismo punto, es decir:

Dada [texx]B_1(x,r)[/texx] existe [texx]B_2(x,r')\subset B_1(x,r)[/texx] y dada [texx]B_2(x,r)[/texx] existe [texx]B_1(x,r')\subset B_2(x,r)[/texx].

Para ello es suficiente mostrar que existen constantes positivas tal que:

[texx]d_1(x,y)<ad_2(x,y)[/texx]
[texx]d_2(x,y)<bd_1(x,y)[/texx]

ya que en ese caso [texx]B_2(x,r/a)\subset B_1(x,r)[/texx] y [texx]B_1(x,r/b)\subset B_2(x,r)[/texx].

En tu caso utiliza que:

[texx]|z_1|^2+|z_2^2|+\ldots+|z_n|^2\leq (|z_1|+|z_2|+\ldots+|z_n|)^2\quad \Rightarrow{}\quad d_2(x,y)\leq d_1(x,y)[/texx]
[texx]|z_1|+|z_2|+\ldots+|z_n|\leq n\cdot max\{|z_1|,|z_2|,\ldots,|z_n|\}\quad \Rightarrow{}\quad d_1(x,y)\leq n\cdot d_\infty(x,y)[/texx]
[texx]max\{|z_1|,|z_2|,\ldots,|z_n|\}^2\leq |z_1|^2+|z_2^2|+\ldots+|z_n|^2\quad \Rightarrow{}\quad d_\infty(x,y)\leq d_2(x,y)[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #2 : 21/02/2019, 05:46:21 pm »

Hola Luis, muchas gracias por tu respuesta.

En las desigualdades que me planteaste ¿ahí se aplica la propiedad triangular de valor absoluto?

Otra cosa que quiero consultarte cuando acotás [texx]d_1 (x,y) < a d_2 (x,y)[/texx] ¿lo haces para poder encontrar un valor de esa constante que depende del radio de la bola inducida por [texx]d_1[/texx] de centro x para poder probar la inclusión?


Otra consulta al probar la doble inclusión ¿estamos probando que los conjuntos son iguales? per mi duda surge de lo siguiente, en el caso de [texx]B_1(x,r) \subset{}B_2 (x,r')[/texx] sería un rombo inscripto en una circunferencia, entonces no entiendo lo de la doble inclusión, ta cero que me di centa, ¿es por ser una inclusión estricta?


Saludos
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 22/02/2019, 04:16:39 am »

Hola

En las desigualdades que me planteaste ¿ahí se aplica la propiedad triangular de valor absoluto?

No. Se aplican propiedades muy elementales de los números reales:

[texx]|z_1|^2+|z_2|^2+\ldots+|z_n|^2\leq (|z_1|+|z_2|+\ldots+|z_n|)^2\quad \Rightarrow{}\quad d_2(x,y)\leq d_1(x,y)[/texx]

Ahí simplemente si desarrollas el cuadrado del segundo término:

[texx](|z_1|+|z_2|+\ldots+|z_n|)^2=|z_1|^2+|z_2|^2+\ldots+|z_n|^2+2\underbrace{\displaystyle\sum_{1\leq i<j\leq n}^n|z_iz_j|}_{\geq 0}[/texx]

Cita
[texx]|z_1|+|z_2|+\ldots+|z_n|\leq n\cdot max\{|z_1|,|z_2|,\ldots,|z_n|\}\quad \Rightarrow{}\quad d_1(x,y)\leq n\cdot d_\infty(x,y)[/texx]

Ahí simplemente cada uno de los sumandos [texx]|z_i|[/texx] es menor o igual que el máximo de ellos; por tanto la suma de los [texx]n[/texx] sumandos es menor o igual que tal máximo.

Cita
[texx]max\{|z_1|,|z_2|,\ldots,|z_n|\}^2\leq |z_1|^2+|z_2^2|+\ldots+|z_n|^2\quad \Rightarrow{}\quad d_\infty(x,y)\leq d_2(x,y)[/texx]

Y ahí simplemente el máximo al cuadrado será algún [texx]|z_{i_0}|^2[/texx] que es menor o igual que la suma de todos los [texx]|z_i|^2[/texx].

Cita
Otra cosa que quiero consultarte cuando acotás [texx]d_1 (x,y) < a d_2 (x,y)[/texx] ¿lo haces para poder encontrar un valor de esa constante que depende del radio de la bola inducida por [texx]d_1[/texx] de centro x para poder probar la inclusión?

Como ya te indiqué de esa desigualdad se deduce que:

[texx]B_2(x,r/a)\subset B_1(x,r)[/texx]

ya que si [texx]d_2(x,y)<r/a[/texx] entonces [texx]d_1(x,y)<ad_2(x,y)<a\cdot (r/a)=r[/texx]

Cita
Otra consulta al probar la doble inclusión ¿estamos probando que los conjuntos son iguales?

No; es doble inclusión de pares de conjuntos distintos, no del mismo conjunto: [texx]B_2(x,r/a)\subset B_1(x,r)[/texx] y [texx]B_1(x,s')\subset B_2(x,s)[/texx].

Cita
per mi duda surge de lo siguiente, en el caso de [texx]B_1(x,r) \subset{}B_2 (x,r')[/texx] sería un rombo inscripto en una circunferencia, entonces no entiendo lo de la doble inclusión, ta cero que me di centa, ¿es por ser una inclusión estricta?

Lo que se prueba es que dentro de un rombo se puede meter una circunferencia suficientemente pequeña; y dentro de una circunferencia se puede meter un rombo suficientemente pequeño.

Saludos.
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nico
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« Respuesta #4 : 22/02/2019, 11:39:39 am »

Hola, tenía muchas interpretaciones equivocadas.
Muchas gracias por tus comentarios y correcciones.


saludos
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