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Autor Tema: Isomorfismo entre espacios de homomorfismos  (Leído 265 veces)
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amaranthgf
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« : 20/02/2019, 05:03:49 pm »

Dado este teorema, me gustaría saber si es correcta mi deducción o estoy definiéndolo mal.

Sea [texx]f:E \longrightarrow F [/texx] aplicación k-lineal entre K-e.v. de dimensión finita,
entonces [texx]f^{**} = f[/texx], donde [texx]f^{**}[/texx] denota la aplicación lineal dual de
[texx]f^{*}[/texx]. Es decir:
[texx]\exists h : Hom_K(E^{**},F^{**}) \longrightarrow Hom_K(E,F)[/texx] isomorfismo tal que
[texx]g^{**}\longrightarrow h(g^{**}) = \phi_F^{-1} \circ g^{**} \circ \phi_E[/texx]

Hemos probado en los apuntes que la función h está bien definida. Falta probar que es una
aplicación, que es k-lineal y que es biyectiva. Vamos a ver las dos primeras:

Queremos probar que dados [texx]g^{**},{g^{**}}' \in Hom_K(E^{**},F^{**})[/texx],
con [texx]g^{**} = {g^{**}}'[/texx],
entonces llevan a la misma imagen, es decir [texx]h(g^{**}) = h({g^{**}}')[/texx].
Para ello tomamos unos elementos [texx]w,w' \in F[/texx], [texx]e,e' \in E[/texx]:

[texx]h(g^{**})(e)(w) = \phi_F^{-1} \circ g^{**} \circ \phi_E (e)(w) =
\phi_F^{-1} ( g^{**} \circ \phi_E (e)(w)) = \phi_F^{-1} (\phi_E (g(e)(w)))=
\phi_F^{-1} (w g(e))  = g(e)[/texx]

Igual para e' y w'. Entonces como tenemos que g es aplicación, se cumple.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 21/02/2019, 04:23:22 am »

Hola

Queremos probar que dados [texx]g^{**},{g^{**}}' \in Hom_K(E^{**},F^{**})[/texx],
con [texx]g^{**} = {g^{**}}'[/texx],
entonces llevan a la misma imagen, es decir [texx]h(g^{**}) = h({g^{**}}')[/texx].
Para ello tomamos unos elementos [texx]w,w' \in F[/texx], [texx]e,e' \in E[/texx]:

[texx]h(g^{**})(e)(w) = \phi_F^{-1} \circ g^{**} \circ \phi_E (e)(w) =
\phi_F^{-1} ( g^{**} \circ \phi_E (e)(w)) = \phi_F^{-1} (\phi_E (g(e)(w)))=
\phi_F^{-1} (w g(e))  = g(e)[/texx]

Igual para e' y w'. Entonces como tenemos que g es aplicación, se cumple.

Pero no entiendo lo que haces ahí; has definido perfectamente cual es la imagen de [texx]g^{**}[/texx] por [texx]h[/texx]. En ningún caso puede ocurrir que el mismo elemento tenga dos imágenes distintas. No tiene sentido esa comprobación.

Ese tipo de comprobaciones tienen sentido cuando estás trabajando en un espacio cociente y para definir la imagen de una clase de equivalencia escoges un representante del mismo; entonces hay que ver que la imagen no depende del representante elegido.

Saludos.
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