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Autor Tema: Ejemplo máximo intervalo de subaditividad  (Leído 3221 veces)
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Luis Fuentes
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« : 20/02/2019, 07:38:39 am »

Hola

 Tenemos:

[texx]w(x)=\begin{cases} w_1(x)=0.2-\dfrac{0.2(x-0.4)^2}{0.4^2} & \text{si}& 0\leq x\leq 0.4\\w_2(x)=0.2+\dfrac{(1-0.2)(x-0.4)^2}{(1-0.4)^2} & \text{si}& 0.4\leq x\leq 1\end{cases}[/texx]

 Consideramos:

[texx]h(z)=min\{w(x)+w(z-x)-w(z)|x\in [0,z]\}=min\{w(x)+w(z-x)-w(z)|x\in [0,z/2]\}[/texx]

 Queremos hallar el máximo interavalo de subaditividad [texx][0,k][/texx] y sabemos que corresponde a:

[texx]k=inf\{z|h(z)<0\}[/texx]

 Dado que en [texx][0,4][/texx], la función [texx]w(x)[/texx] es cóncava es claro que ahí la función es subaditiva; por tanto nos preocupamos de que ocurre para [texx]z\geq 0.4[/texx].

 En particular si [texx]z\in [0.4,0.8][/texx] se tiene que:

[texx]w(w)+w(z-x)-w(z)=\begin{cases} w_1(x)+w_2(z-x)-w_2(z) & \text{si}& x\in [0,z-0.4]\\w_1(x)+w_1(z-x)-w_2(z) & \text{si}& x\in [z-0.4,z/2]\end{cases}[/texx]

 Donde:

[texx]  w_1(x)+w_2(z-x)-w_2(z) =\dfrac{5}{36}x(20+7x-32z)[/texx]

 Puede verse que esa función, cuando [texx]x[/texx] recorre [texx][0,z-0.4][/texx] alcanza el mínimo en:

 - si [texx]z\leq \dfrac{5}{8}[/texx] en [texx]x=0[/texx]  y en ese caso tal mínimo es [texx]0[/texx].

 - si [texx]z>\dfrac{5}{8}[/texx] en [texx]x=\dfrac{2}{7}(8z-5)[/texx]  y en ese caso tal mínimo es [texx]-\dfrac{5}{63}(5-8z)^2[/texx].

 Por otra parte:

 [texx]w_1(x)+w_1(z-x)-w_2(z) =\dfrac{-5}{36}\left(18 x^2-18 x z+(2-5 z)^2\right)[/texx]

 y esa función cuando [texx]x[/texx] recorre [texx][z-0.4,z/2][/texx] alcanza el mínimo en [texx]x=z-0.4[/texx]. Como en ese punto [texx]w_1(x)+w_1(z-x)-w_2(z)[/texx] y [texx]w_1(x)+w_2(z-x)-w_2(z)[/texx] coinciden el valor del mínimo es mayor que el mínimo obtenido en el tramo anterior.

 Es decir la conclusión es que si [texx]z\in [0.4,0.8][/texx]:

[texx]h(z)=\begin{cases} 0 & \text{si}& z\in [0,5/8]\\-\dfrac{5}{63}(5-8z)^2 & \text{si}& x\in [5/8,0.8]\end{cases}[/texx]

 Dado que buscamos el ínfimo de los [texx]z[/texx] donde [texx]h[/texx] es negativo y ya en el tramo [texx][0.4,0.8][/texx] hemos encontrado valores negativos, no nos interesa lo que pase en [texx][0.8,1].[/texx]

 En definitiva:

[texx]k=inf\{z|h(z)<0\}=\dfrac{5}{8}[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #1 : 20/02/2019, 01:59:13 pm »

El tema del menor igual no hay que cambiarlo? O es por el  [texx]k=5/8[/texx] es tipo el límite a la derecha?
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Luis Fuentes
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« Respuesta #2 : 21/02/2019, 04:38:51 am »

Hola

El tema del menor igual no hay que cambiarlo? O es por el  [texx]k=5/8[/texx] es tipo el límite a la derecha?

No se si te entiendo. Lo que hemos visto es que el conjunto donde [texx]h(z)<0[/texx] es [texx](5/8,0.8]\cup A[/texx], donde [texx]A[/texx] es un subconjunto de [texx][0.8,1][/texx] (pero no tiene influencia porque buscamos el ínfimo del conjunto).

Entonces el ínfimo, es decir, la mayor de las cotas inferiores es [texx]5/8[/texx].

Saludos.
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« Respuesta #3 : 21/02/2019, 09:24:46 am »

Ok. Ahora, si [texx]w[/texx] es subaditiva en [texx][0,k][/texx] qué puedo decir sobre la subaditividad de [texx]\hat{w}(x)=1-w(1-x)[/texx] en ese intervalo?

creo que podemos decir que [texx]w(k-x)+w(x)\leq 1-w(1-k)[/texx] y no mucho más.
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« Respuesta #4 : 21/02/2019, 10:52:04 am »

Hola

Ok. Ahora, si [texx]w[/texx] es subaditiva en [texx][0,k][/texx] qué puedo decir sobre la subaditividad de [texx]\hat{w}(x)=1-w(1-x)[/texx] en ese intervalo?

creo que podemos decir que [texx]w(k-x)+w(x)\leq 1-w(1-k)[/texx] y no mucho más.

No se si ahí te has comido algún sombrerito en alguna [texx]w.[/texx]

Tendríamos:

[texx]\hat{w}(x)+\hat w(k-x)-\hat w(k)=1-w(1-x)-w(1-k+x)+w(1-k)[/texx]

y no veo que ahí aporte nada para seguir simplificando la subaditividad conocida de [texx]w[/texx].

Saludos.
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« Respuesta #5 : 22/02/2019, 09:12:17 am »

i) Está bien

[texx]h(z)=\begin{cases} 0 & \text{si}& z\in [0,5/8]\\-\dfrac{5}{63}(5-8z)^2 & \text{si}& x\in [5/8,0.8]\end{cases}[/texx]

que [texx]h(z)=0[/texx] para tanto valores, creo que hay una errata y debería ser [texx][0.4, 5/8][/texx] pero es raro que tenga infinitas raíces.

ii) El método de hallar ese [texx]k[/texx] creo que debería ser hallar todas las raíces de [texx]h(z)[/texx] y luego empezando desde la izquierda hallar el primer intervalo donde toma valores negativos. Es decir, supongamos que [texx]h(z)[/texx] tuviera tres raíces [texx]z_1,z_2, z_3[/texx] y el primer intervalo donde toma valores negativos es [texx](z_2,z_3][/texx] entonces [texx]k=z_2,[/texx] es así?





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« Respuesta #6 : 22/02/2019, 09:52:55 am »

Hola

i) Está bien

[texx]h(z)=\begin{cases} 0 & \text{si}& z\in [0,5/8]\\-\dfrac{5}{63}(5-8z)^2 & \text{si}& x\in [5/8,0.8]\end{cases}[/texx]

que [texx]h(z)=0[/texx] para tanto valores, creo que hay una errata y debería ser [texx][0.4, 5/8][/texx] pero es raro que tenga infinitas raíces.

Bueno, tal como le escribí, por el momento si sería [texx]z\in [0.4, 5/8][/texx]; no obstante es inmediato dado que [texx]w[/texx] es subaditiva en [texx][0,0.4][/texx] por concavidad que igualmente [texx]h(z)[/texx] es [texx]0[/texx] en [texx][0,0.4][/texx].

Por otro lado no hay nada raro en el hecho de que [texx]h(z)[/texx] tenga infinitas raíces. Recuerda como está definida [texx]h[/texx].

[texx]h(z)=min\{w(x)+w(z-x)-w(z)|x\in [0,z]\}=min\{w(x)+w(z-x)-w(z)|x\in [0,z/2]\}[/texx]

Es un mínimo. Dado que [texx]w(0)+w(z-0)-w(z)=0[/texx] en cualquier caso, ese mínimo siempre es menor o igual que cero. En los tramos [texx][0,z][/texx] donde hay subaditividad esa diferencia es no negativa, luego el mínimo es cero. Falla la subadtividad cuando aparece algún valor de [texx]x[/texx] que hace negativa la diferencia y entonces el mínimo es negativo.

Cita
ii) El método de hallar ese [texx]k[/texx] creo que debería ser hallar todas las raíces de [texx]h(z)[/texx] y luego empezando desde la izquierda hallar el primer intervalo donde toma valores negativos. Es decir, supongamos que [texx]h(z)[/texx] tuviera tres raíces [texx]z_1,z_2, z_3[/texx] y el primer intervalo donde toma valores negativos es [texx](z_2,z_3][/texx] entonces [texx]k=z_2,[/texx] es así?

Pero insisto: [texx]h(z)[/texx] no va a tener raíces sueltas. Va a ser cero hasta que se pierde la subadtividad.

Saludos.
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« Respuesta #7 : 22/02/2019, 10:36:00 am »

Claro, es el [texx]min[/texx] me comí eso. Pregunto, si [texx]h(z)[/texx] toma los siguientes signos en intervalos digamos

[texx]0,+,0,-,- [/texx]

entonces el [texx]k[/texx] sería el primer valor del cuarto intervalo?

Como dices, hasta el punto de inflexión tenemos [texx]h(z)=0[/texx], luego a medida que nos vayamos moviendo hacia la derecha, podrá cambiar de signo, aunque no me queda claro si podría saltar a + como puse más arriba, o necesariamente debería seguir con -, esto es más intuitivo. No se si me explico, es decir la secuencia de signo de [texx]h(z)[/texx] debería ser 0,- y no 0,+ como puse más arriba. Y por lo tanto el primer valor de ese intervalo (en el límite) será el [texx]k,[/texx] no?



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« Respuesta #8 : 22/02/2019, 12:29:33 pm »

Hola

Claro, es el [texx]min[/texx] me comí eso. Pregunto, si [texx]h(z)[/texx] toma los siguientes signos en intervalos digamos

[texx]0,+,0,-,- [/texx]

entonces el [texx]k[/texx] sería el primer valor del cuarto intervalo?

Como dices, hasta el punto de inflexión tenemos [texx]h(z)=0[/texx], luego a medida que nos vayamos moviendo hacia la derecha, podrá cambiar de signo, aunque no me queda claro si podría saltar a + como puse más arriba, o necesariamente debería seguir con -, esto es más intuitivo. No se si me explico, es decir la secuencia de signo de [texx]h(z)[/texx] debería ser 0,- y no 0,+ como puse más arriba. Y por lo tanto el primer valor de ese intervalo (en el límite) será el [texx]k,[/texx] no?

Como te comenté antes:

Es un mínimo. Dado que [texx]w(0)+w(z-0)-w(z)=0[/texx] en cualquier caso, ese mínimo siempre es menor o igual que cero.

 el mínimo es siempre menor o igual que cero. Así que no va  a haber nunca valores positivos.

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« Respuesta #9 : 23/02/2019, 10:01:58 am »

Una observación que me llama la atención es esta. La recta que va desde el origen y pasa por el punto de inflexión es igual a [texx]y=1/2x[/texx] y corta a la curva [texx]w(x)[/texx] en "voila" [texx]x=\frac{5}{8}
[/texx] será éste un método general para hallar [texx]k,[/texx] o fue de suerte?

Creo que fue suerte pues para [texx]w(x)=e^{-(-lnx)^{0.5}}[/texx] el punto de inflexión es [texx]x=1/e[/texx] y la recta es [texx]y=x,[/texx] pero [texx]k=0.977[/texx] y no 1. Pensé que podría hallarse viendo la intersección de una recta (que no se de dónde sale) con [texx]w(x).[/texx]
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« Respuesta #10 : 25/02/2019, 06:31:26 am »

Hola

Una observación que me llama la atención es esta. La recta que va desde el origen y pasa por el punto de inflexión es igual a [texx]y=1/2x[/texx] y corta a la curva [texx]w(x)[/texx] en "voila" [texx]x=\frac{5}{8}
[/texx] será éste un método general para hallar [texx]k,[/texx] o fue de suerte?

Creo que fue suerte pues para [texx]w(x)=e^{-(-lnx)^{0.5}}[/texx] el punto de inflexión es [texx]x=1/e[/texx] y la recta es [texx]y=x,[/texx] pero [texx]k=0.977[/texx] y no 1. Pensé que podría hallarse viendo la intersección de una recta (que no se de dónde sale) con [texx]w(x).[/texx]

Desde luego y como muestra tu segunda comprobación, no se cumple en general. Quizá pudiera ser cierto para la familia muy concreta de ejemplos de la que forma parte la función de este hilo (funciones formadas por dos trozos de parábolas).

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« Respuesta #11 : 26/02/2019, 02:47:48 pm »

No me queda claro, bajo qué condiciones [texx]w[/texx] es subaditiva en [texx][0,b][/texx] con [texx]w(b)=2w(b/2)[/texx] y cuándo no. En este caso se da que [texx]w(b)<2w(b/2),[/texx] pero debería haber algunos supuestos que indiquen en qué caso estamos.
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