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Autor Tema: Ejercicio de integrales y un conjunto de medida nula  (Leído 177 veces)
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lcdeoro
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« : 20/02/2019, 01:51:33 am »

Dadas [texx]f,g:[a,b]\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx] integrables. Sea [texx]X=\left\{{x\in{[a,b]; \ f(x)\neq{g(x)}}}\right\}[/texx]. Si [texx]X[/texx] tiene medida nula entonces [texx]\displaystyle\int_{a}^{b}f(x), dx=\displaystyle\int_{a}^{b}g(x), dx[/texx]

Dmst: Consideremos la función [texx]h=f-g[/texx] y las funciones [texx]h^+=max\left\{{h,0}\right\}[/texx] y [texx]h^-=-min\left\{{h,0}\right\}[/texx].

Entonces [texx]h^+(x)\geq{0} \ \ \forall{x\in{[a,b]}}[/texx] y [texx]h^-(x)\geq{0} \ \ \forall{x\in{[a,b]}}[/texx]. Además

[texx]\left\{{x\in{[a,b]}: \ h^+(x)>0}\right\}\subseteq{}\left\{{x\in{[a,b]}: \ h(x)\neq{0}}\right\}\subseteq{X}[/texx] luego tiene medida cero, entonces [texx]h^+[/texx] es integrable y [texx]\displaystyle\int_{a}^{b}h^+(x)=0[/texx]

Analogamente podemos decir que [texx]h^-[/texx] es integrable y [texx]\displaystyle\int_{a}^{b}h^-(x)=0[/texx], emtonces [texx]h=h^+-h^-[/texx] es integrable en [a,b] y [texx]\displaystyle\int_{a}^{b}h(x)=0[/texx]

Como [texx]f=g+h[/texx] y [texx]g=f-h[/texx] se tiene que [texx]f[/texx] es integrable si y solo si [texx]g[/texx] lo es, y [texx]\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)=\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)+\displaystyle\int_{a}^{b}h(x)=\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)[/texx]

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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 20/02/2019, 05:55:57 am »

Hola

Dadas [texx]f,g:[a,b]\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx] integrables. Sea [texx]X=\left\{{x\in{[a,b]; \ f(x)\neq{g(x)}}}\right\}[/texx]. Si [texx]X[/texx] tiene medida nula entonces [texx]\displaystyle\int_{a}^{b}f(x), dx=\displaystyle\int_{a}^{b}g(x), dx[/texx]

Dmst: Consideremos la función [texx]h=f-g[/texx] y las funciones [texx]h^+=max\left\{{h,0}\right\}[/texx] y [texx]h^-=-min\left\{{h,0}\right\}[/texx].

Entonces [texx]h^+(x)\geq{0} \ \ \forall{x\in{[a,b]}}[/texx] y [texx]h^-(x)\geq{0} \ \ \forall{x\in{[a,b]}}[/texx]. Además

[texx]\left\{{x\in{[a,b]}: \ h^+(x)>0}\right\}\subseteq{}\left\{{x\in{[a,b]}: \ h(x)\neq{0}}\right\}\subseteq{X}[/texx] luego tiene medida cero, entonces [texx]h^+[/texx] es integrable y [texx]\displaystyle\int_{a}^{b}h^+(x)=0[/texx]

Analogamente podemos decir que [texx]h^-[/texx] es integrable y [texx]\displaystyle\int_{a}^{b}h^-(x)=0[/texx], emtonces [texx]h=h^+-h^-[/texx] es integrable en [a,b] y [texx]\displaystyle\int_{a}^{b}h(x)=0[/texx]

Como [texx]f=g+h[/texx] y [texx]g=f-h[/texx] se tiene que [texx]f[/texx] es integrable si y solo si [texx]g[/texx] lo es, y [texx]\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)=\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)+\displaystyle\int_{a}^{b}h(x)=\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)[/texx]

Está bien; aunque para evaluar la adecuación del argumento habría que saber exactamente en qué resultados previos puedes apoyarte.

Estás usando la linealidad de la integral y que la integral de una función positiva con soporte en un conjunto de medida cero es nula. Si ya tienes probado eso (es razonable que sea así), perfecto.

Saludos.
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