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Autor Tema: Tema Divisibilidad Aritmética  (Leído 556 veces)
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Francois
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« : 13/02/2019, 02:41:05 am »


Buenas.

Entiendo que este problema  es una secuencia . Pero como podría saber cuantos a y unos hay.
Aparentemente pareciera que debe terminar en 1. Pero cuál es el razonamiento?


Pregunta
Dado el número [texx]\overline{1a11a111a1111a}[/texx] ( [texx]90[/texx] cifras).
Determinar el valor de a de modo que dicho número sea divisible por 9.


Saludos!
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 13/02/2019, 04:41:35 am »

Hola


Buenas.

Entiendo que este problema  es una secuencia . Pero como podría saber cuantos a y unos hay.
Aparentemente pareciera que debe terminar en 1. Pero cuál es el razonamiento?


Pregunta
Dado el número [texx]\overline{1a11a111a1111a}[/texx] ( [texx]90[/texx] cifras).
Determinar el valor de a de modo que dicho número sea divisible por 9.

Cuenta cuantos bloques [texx]1\ldots1a[/texx] hay hasta la cifra [texx]90[/texx]. Fíjate que cada bloque es una unidad más que el anterior luego, supuesto que el último bloque es de longitud [texx]n[/texx],  hay que sumar para la longitud total:

[texx]2+3+4+\ldots+n=\dfrac{2+n}{2}\cdot (n-1)=\dfrac{n^2+n-2}{2}[/texx]

supuesto que el último bloque es de longitud [texx]n[/texx].

Resolviendo [texx]\dfrac{n^2+n-2}{2}=90[/texx] obtienes [texx]n=13[/texx].

Por tanto hay [texx]13-2+1=12[/texx] bloques y así [texx]12[/texx] aes y [texx]90-12=78[/texx] unos.

Para que sea divisible por nueve tiene que cumplirse que:

[texx]12a+78=0\,mod\,9[/texx]

Equivalentemente:

[texx]3a+6=0\,mod\,9[/texx]
[texx]a+2=0\,mod\,3[/texx]

Por tanto [texx]a=1,4,7[/texx].

Saludos.
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feriva
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« Respuesta #2 : 13/02/2019, 05:47:59 am »

Hola. Llego tarde a responder pero lo dejo spoiler ya que lo he hecho.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Saludos.
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