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Autor Tema: Explicación de un teorema relacionado al álgebra.  (Leído 572 veces)
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moliere
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« : 19/02/2019, 05:51:31 pm »

Me dan el siguiente teorema:
Si [texx]P (x)[/texx] es un polinomio de grado [texx]n>0[/texx] con coeficientes reales, entonces [texx]P (x)[/texx] puede factorizarse como un producto de factores lineales (con coeficientes reales) y factores cuadráticos (con coeficientes reales y ceros imaginarios).
Lo que quisiera saber es si esto se cumple para cualquier polinomio, es decir, si se puede expresar  únicamente como factores lineales y cuadráticos.
Por lo menos la segunda parte no siempre cumple porque un polinomio cuadrático tiene soluciones imaginarias cuando el discriminante es menor que cero.
Nota: ya sé que a consecuencia  del teorema fundamental del álgebra, un polinomio [texx]P (x)[/texx] de grado [texx]n>0[/texx] puede factorizarse como  un producto de [texx]n[/texx] factores lineales.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 20/02/2019, 04:32:17 am »

Hola

Me dan el siguiente teorema:
Si [texx]P (x)[/texx] es un polinomio de grado [texx]n>0[/texx] con coeficientes reales, entonces [texx]P (x)[/texx] puede factorizarse como un producto de factores lineales (con coeficientes reales) y factores cuadráticos (con coeficientes reales y ceros imaginarios).
Lo que quisiera saber es si esto se cumple para cualquier polinomio, es decir, si se puede expresar  únicamente como factores lineales y cuadráticos.
Por lo menos la segunda parte no siempre cumple porque un polinomio cuadrático tiene soluciones imaginarias cuando el discriminante es menor que cero.
Nota: ya sé que a consecuencia  del teorema fundamental del álgebra, un polinomio [texx]P (x)[/texx] de grado [texx]n>0[/texx] puede factorizarse como  un producto de [texx]n[/texx] factores lineales.

No entiendo porque dices que no se cumple. Un polinomio cuadrático...¡ya esaá factorizado como producto de factores cuadráticos!.

Fíjate que un polinomio de raíces reales si tiene una raíz compleja [texx]a+bi[/texx] entonces también tiene como raíz su conjugada [texx]a-bi[/texx]. Entonces:

[texx](x-(a+bi))(x-(a-bi))=x^2-2ax-a^2-b^2[/texx]

es un factor cuadrático de la factorización del polinomio.

Saludos.
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moliere
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« Respuesta #2 : 20/02/2019, 08:39:27 pm »

Creía, Luis Fuentes, que los ceros imaginarios existían  en una función cuadrática si el discriminante es menor que cero, pero no sé si me equivoco.
Y lo otro que quisiera saber es si cualquier función polinomial con coeficientes reales se puede factorizar en factores cuadráticos.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 21/02/2019, 04:32:32 am »

Hola

Creía, Luis Fuentes, que los ceros imaginarios existían  en una función cuadrática si el discriminante es menor que cero, pero no sé si me equivoco.

No, no te equivocas. ¿Pero qué tiene qué ver eso con lo que yo te he dicho?.

Cita
Y lo otro que quisiera saber es si cualquier función polinomial con coeficientes reales se puede factorizar en factores cuadráticos.

No. Evidentemente una función polinomial de grado impar, no puede factorizarse en producto de factores cuadráticos porque entonces tendría grado par.

Lo que dice el resultado es que todo polinomio con coeficientes reales se factoriza como producto de factores lineales y/o cuadráticos, es decir, alguna de esas tres posibilidades:

- o bien todos lineales,
- o bien todos cuadráticos,
- o bien algunos lineales y otros cuadráticos.

Lo que yo te indicaba es como se justifica. Lo que sabemos es que en los complejos se factoriza en factores lineales; tantos como su grado. Son factores del tipo [texx](x-z_i) [/texx] siendo [texx]z_1,z_2,\ldots,z_n [/texx] las raíces. Las raíces [texx]z_i[/texx] que son reales nos dan factores lineales; las que son complejas pueden agruparse de dos en dos, ya que como te dije que [texx]a+bi[/texx] es raíz compleja también lo es [texx]a-bi[/texx]. Y el producto de [texx](x-(a+bi))[/texx] por [texx](x-(a-bi))[/texx] te da un polinomio cuadrático con coeficientes reales.

Por ejemplo si tienes [texx]x^3 + 2 x^2 - 3 x - 10[/texx] sus raíces son [texx]2, -2+i[/texx] y [texx]-2-i[/texx]. Entonces:

[texx]x^3+2x^2-3x-10=(x-2)(x-(-2+i))(x-(-2-i))[/texx]

Pero:

[texx](x-(-2+i))(x-(-2-i))=x^2+4x+5[/texx]

Por tanto:

[texx]x^3+2x^2-3x-10=(x-2)(x^2+4x+5)[/texx]

Saludos.
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moliere
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« Respuesta #4 : 22/02/2019, 11:29:32 pm »

Gracias, Luis Fuentes.
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« Respuesta #5 : 23/02/2019, 04:02:16 am »

Me dan el siguiente teorema:
Si [texx]P (x)[/texx] es un polinomio de grado [texx]n>0[/texx] con coeficientes reales, entonces [texx]P (x)[/texx] puede factorizarse como un producto de factores lineales (con coeficientes reales) y factores cuadráticos (con coeficientes reales y ceros imaginarios).
Lo que quisiera saber es si esto se cumple para cualquier polinomio, es decir, si se puede expresar  únicamente como factores lineales y cuadráticos.
Por lo menos la segunda parte no siempre cumple...

¿No podría, quizá, estar considerando, entre otras cosas, que los reales están contenidos en los complejos? Es decir, si [texx]a[/texx] es un real, entonces [texx]a=a\pm{}bi
 [/texx] con [texx]b=0[/texx].
Con un real cualquiera, si 5 es un coeficiente de alguna “x”, entonces [texx]5=(\sqrt{5}-0i)^{2}
 [/texx]

Saludos
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