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Autor Tema: Hermosa igualdad en un triángulo rectángulo  (Leído 1020 veces)
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GaToMi
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« : 19/02/2019, 12:47:08 am »

Espero que este problema no lo hayan publicado antes :lengua_afuera:

Sea ABC un triángulo rectángulo con lados [texx]a, b[/texx] e hipotenusa [texx]c[/texx]. Si [texx]d[/texx] es la altura de C sobre sobre la hipotenusa AB, demuestra que

[texx]\displaystyle\frac{1}{a^2}+\displaystyle\frac{1}{b^2}=\displaystyle\frac{1}{d^2}[/texx]
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« Respuesta #1 : 19/02/2019, 04:58:12 am »

Hola

Sea ABC un triángulo rectángulo con lados [texx]a, b[/texx] e hipotenusa [texx]c[/texx]. Si [texx]d[/texx] es la altura sobre la hipotenusa, demuestra que

[texx]\displaystyle\frac{1}{a^2}+\displaystyle\frac{1}{b^2}=\displaystyle\frac{1}{d^2}[/texx]

No estoy seguro de entender bien por qué tenemos el dato de [texx]d[/texx]. Tampoco estoy seguro de a lo que se refiere: ¿[texx]d[/texx] es el segmento que une cualquiera de los dos catetos con la hipotenusa?

Si eso es cierto, entonces creo que es falso. Consideremos un triángulo rectángulo cuyos catetos midan [texx]2[/texx] unidades. Si nos paramos en cualquier cateto y trazamos un segmento que vaya desde la mitad del cateto hasta la hipotenusa, su longitud será [texx]d=2[/texx]. Pero

[texx]\displaystyle\frac1{4^2}+\frac1{4^2}=\frac18\neq\frac1{2^2}=\frac14,[/texx]

como se ve en la imagen (que repito, estoy considerando a [texx]d[/texx] como el segmento que une cualquier punto de cualquiera de los dos catetos hasta la hipotenusa):


Saludos

* TriangEquilGaToMi.jpg (12.24 KB - descargado 206 veces.)
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Luis Fuentes
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« Respuesta #2 : 19/02/2019, 05:46:18 am »

Hola

Hola

Sea ABC un triángulo rectángulo con lados [texx]a, b[/texx] e hipotenusa [texx]c[/texx]. Si [texx]d[/texx] es la altura sobre la hipotenusa, demuestra que

[texx]\displaystyle\frac{1}{a^2}+\displaystyle\frac{1}{b^2}=\displaystyle\frac{1}{d^2}[/texx]

No estoy seguro de entender bien por qué tenemos el dato de [texx]d[/texx]. Tampoco estoy seguro de a lo que se refiere: ¿[texx]d[/texx] es el segmento que une cualquiera de los dos catetos con la hipotenusa?

No. [texx]d[/texx] es la altura sobre la hipotenusa, es decir, el segmento perpendicular a la hipotenusa que la une con el vértice opuesto.



Nótese que la desigualdad buscada equivale a:

[texx]\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{1}{d^2}[/texx]

[texx]\dfrac{a^2+b^2}{a^2b^2}=\dfrac{1}{d^2}[/texx]

[texx]\dfrac{c^2}{a^2b^2}=\dfrac{1}{d^2}[/texx]

[texx]d^2c^2=a^2b^2[/texx]

[texx]dc=ab[/texx]

Ahora dado que los triángulos [texx]ABC[/texx] y [texx]CBE[/texx] son semejantes:

[texx]\dfrac{\textsf{hipotenusa}}{\textsf{cateto menor}}=\dfrac{c}{b}=\dfrac{a}{d}[/texx]

Saludos.

* rectangbonito.png (10.36 KB - descargado 190 veces.)
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« Respuesta #3 : 19/02/2019, 06:09:45 am »

Hola Luis

Gracias por la observación.

¿No es que el triángulo [texx]ABC[/texx] debe ser rectángulo (por hipótesis)? Creo que tu imagen representa a un acutángulo :¿eh?:.

Por eso mi duda sobre la importancia de [texx]d[/texx].

Saludos
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« Respuesta #4 : 19/02/2019, 06:24:10 am »

Hola

¿No es que el triángulo [texx]ABC[/texx] debe ser rectángulo (por hipótesis)? Creo que tu imagen representa a un acutángulo :¿eh?:.



El ángulo [texx]C[/texx], el opuesto al lado [texx]c[/texx], es el de [texx]90[/texx] grados.

Cita
Por eso mi duda sobre la importancia de [texx]d[/texx].

¿Pero te queda alguna duda sobre quien es [texx]d[/texx]? Es la altura sobre la hipotenusa.

Saludos.

* rectangbonito2.png (14.98 KB - descargado 162 veces.)
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« Respuesta #5 : 19/02/2019, 06:28:30 am »

Hola

Ninguna duda ya. Tu explicación fue clara.

Confié a primera vista que tu triángulo no era como se pedía. Ya ves que soy malo para las construcciones geométricas (la matemática rigurosa no debería probarse a través de figuras sino de razonamientos) :triste:.

Ahora sí, gracias. Esperemos que GaToMi pueda entenderlo.

Saludos
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« Respuesta #6 : 19/02/2019, 06:39:50 am »

Hola

Confié a primera vista que tu triángulo no era como se pedía. Ya ves que soy malo para las construcciones geométricas (la matemática rigurosa no debería probarse a través de figuras sino de razonamientos) :triste:.

Pero curiosamente parece que eres tu el que te "entregabas" a la figura, en lugar de al razonamiento. El dibujo es bastante exacto porque está hecho con geogebra; pero podría estar mal hecho, a mano; podría ser un dibujo "burdo". Simplemente sirve para orientar. Dado el enunciado uno sabe que la hipotenusa la denotamos por [texx]c[/texx] y por tanto el ángulo opuesto es el rectángulo.

Uno puede razonar la semejanza de los triángulos indicados, simplemente notando que tienen los mismos ángulos, no hace falta el dibujo. A quien le ayude... mejor.

Saludos.
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« Respuesta #7 : 19/02/2019, 07:00:55 am »

(la matemática rigurosa no debería probarse a través de figuras sino de razonamientos) :triste:.


Que no te escuche Euclides....
En este mismo subforo de Geometría Euclidea hay demostraciones preciosas sólo con dibujos y/o semejanzas, junto con teoremas muy básicos.
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« Respuesta #8 : 19/02/2019, 08:06:19 am »

la matemática rigurosa no debería probarse a través de figuras sino de razonamientos

Hola, manooooh. ¿Existe otra forma de probar las cosas que no sea con razonamientos? :sonrisa:

En el enunciado de GaToMi no hay ninguna figura, tu duda se encontraba inicialmente en que no estabas seguro de cómo se entendía un concepto (en este caso la altura sobre la hipotenusa en el triángulo rectángulo) según se define en el enunciado sin dibujo.
Luego, precisamente ya con el segundo dibujo de Luis (donde ha añadido el cuadradito magenta claro en el ángulo C) es cuando lo has visto; luego la culpa no es de los dibujos, sino de que pueda quedar algo sobreentendido y que en un momento dado uno no caiga en algún aspecto (a mí me lo vas a contar, con la cantidad de veces que me pasan estas cosas :cara_de_queso: ). 

Ah, no, que el cuardadito es verde; ¿ves? Si es que no me fijo

Saludos.
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« Respuesta #9 : 19/02/2019, 11:58:53 am »

Hola a todos, gracias por responder.

Modifiqué el enunciado para que no haya futuras confusiones  :cara_de_queso:
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« Respuesta #10 : 19/02/2019, 01:39:58 pm »

Hola

Modifiqué el enunciado para que no haya futuras confusiones  :cara_de_queso:

En mi opinión es más confuso el nuevo enunciado que el inicial.

El inicial era:

Sea ABC un triángulo rectángulo con lados [texx]a, b[/texx] e hipotenusa [texx]c[/texx]. Si [texx]d[/texx] es la altura sobre la hipotenusa, demuestra que

[texx]\displaystyle\frac{1}{a^2}+\displaystyle\frac{1}{b^2}=\displaystyle\frac{1}{d^2}[/texx]

No hay nada confuso ahí. La altura sobre una lado (en este caso sobre la hipotenusa) es por definición, la altura que sale del vértice opuesto. Está claro además que [texx]a,b[/texx] son los catetos, [texx]c[/texx] la hipotenusa.

El nuevo enunciado es:

Sea ABC un triángulo rectángulo con lados [texx]a, b[/texx] e hipotenusa [texx]c[/texx]. Si [texx]d[/texx] es la altura de A sobre sobre la hipotenusa BC, demuestra que

[texx]\displaystyle\frac{1}{a^2}+\displaystyle\frac{1}{b^2}=\displaystyle\frac{1}{d^2}[/texx]

En principio también se entiende. La única pega es que el criterio usual es denotar a los lados con la misma letra que el vértice opuesto pero en minúsculas. Es decir si [texx]c[/texx] es la hipotenusa el vértice opuesto debería de llamarse [texx]C[/texx] según ese convenio. Sin embargo ahí le llamas [texx]A[/texx] al vértice opuesto a [texx]c[/texx]. Eso podría resultar confuso para quien tenga muy interiorizado el convenio.

Saludos.
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« Respuesta #11 : 19/02/2019, 01:50:30 pm »

Cierto, me pasó por no visualizarlo mentalmente, ahora lo arreglé.
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« Respuesta #12 : 20/02/2019, 01:29:13 pm »

Hola a todos

Pero curiosamente parece que eres tu el que te "entregabas" a la figura, en lugar de al razonamiento. El dibujo es bastante exacto porque está hecho con geogebra; pero podría estar mal hecho, a mano; podría ser un dibujo "burdo". Simplemente sirve para orientar. Dado el enunciado uno sabe que la hipotenusa la denotamos por [texx]c[/texx] y por tanto el ángulo opuesto es el rectángulo.

Uno puede razonar la semejanza de los triángulos indicados, simplemente notando que tienen los mismos ángulos, no hace falta el dibujo. A quien le ayude... mejor.

Mi comentario incluía la palabra "riguroso", no "orientador", por lo que estoy claramente de acuerdo con vos, no así que las demostraciones incluyan dibujos, porque GeoGebra (ni ningún otro programa informático) deja de ser preciso a una escala de digamos [texx]10^{\pm500000}[/texx], y a mano mucho peor.

Que no te escuche Euclides....
En este mismo subforo de Geometría Euclidea hay demostraciones preciosas sólo con dibujos y/o semejanzas, junto con teoremas muy básicos.

Antes la matemática no existía el concepto de que algo debe ser probado "rigurosamente", por lo que hace miles de años estoy de acuerdo que su método fueran dibujos y esquemas y demostraciones poco rigurosas, pero a día de hoy es inadmisible. Me gustaría leer una demostración de 2019 donde su prueba conste íntegramente de dibujitos (con la idea de que se usen para demostrar); no existen. En cambio, existen dibujos orientadores, de los cuales estoy totalmente de acuerdo.

¿Existe otra forma de probar las cosas que no sea con razonamientos? :sonrisa:

¡Claro que no!, si entendemos el concepto "razonamiento" como genérico.

En el enunciado de GaToMi no hay ninguna figura, tu duda se encontraba inicialmente en que no estabas seguro de cómo se entendía un concepto (en este caso la altura sobre la hipotenusa en el triángulo rectángulo) según se define en el enunciado sin dibujo.
Luego, precisamente ya con el segundo dibujo de Luis (donde ha añadido el cuadradito magenta claro en el ángulo C) es cuando lo has visto; luego la culpa no es de los dibujos, sino de que pueda quedar algo sobreentendido y que en un momento dado uno no caiga en algún aspecto (a mí me lo vas a contar, con la cantidad de veces que me pasan estas cosas :cara_de_queso: ). 

Ah, no, que el cuardadito es verde; ¿ves? Si es que no me fijo

Jajaja. El dibujo que presenté se trataba de un contraejemplo, que de haber estado bien era totalmente válido, no así haber utilizado sólo un dibujo para demostrar algo. Un dibujo en matemáticas debería utilizarse sólo para orientar, NO para demostrar.

Saludos
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« Respuesta #13 : 20/02/2019, 01:43:30 pm »


Jajaja. El dibujo que presenté se trataba de un contraejemplo, que de haber estado bien era totalmente válido, no así haber utilizado sólo un dibujo para demostrar algo. Un dibujo en matemáticas debería utilizarse sólo para orientar, NO para demostrar.

Saludos

Claro, y es que la demostración está en la cabeza de quien la entiende, no en un dibujo ni tampoco en unos símbolos, que al fin y al cabo también son dibujos; pero eso no quita que, en ocasiones, una imagen vale más que mil palabras (según qué casos, porque en el editor tengo todavía más símbolos de ésos que me has recordado y ni idea de qué quieren decir :cara_de_queso: ).

Saludos.
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« Respuesta #14 : 20/02/2019, 01:48:22 pm »

Hola

Claro, y es que la demostración está en la cabeza de quien la entiende, no en un dibujo ni tampoco en unos símbolos, que al fin y al cabo también son dibujos; pero eso no quita que, en ocasiones, una imagen vale más que mil palabras (según qué casos, porque en el editor tengo todavía más símbolos de ésos que me has recordado y ni idea de qué quieren decir :cara_de_queso: ).

Wow, sos multitask o sea que cubrís varios hilos al mismo tiempo. Me gusta :sonrisa:.

Es cierto que los símbolos que utilizamos de la Lógica son al fin y al cabo dibujos, pero también las palabras valen más que dibujos, porque en un dibujo no podemos ver qué ocurre a una escala digamos minúscula (no permitida por un programa de ordenador), mientras que con las palabras nos aseguramos que tal o cual cosa es cierta para toda escala.

Es cierto que muchas veces una imagen vale más que mil palabras, pero eso no implica que las demostraciones matemáticas "sean todas con dibujos". Sólo los dibujos (que no sean los símbolos de la Lógica) deberían servir para ilustrar y orientar, no para demostrar.

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« Respuesta #15 : 20/02/2019, 03:30:42 pm »

¿Demostraciones poco rigurosas hace 2000 años con dibujos?
¿Has leído los elementos de Euclides?
Las demostraciones son totalmente rigurosas.
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« Respuesta #16 : 20/02/2019, 03:40:11 pm »

Hola

¿Demostraciones poco rigurosas hace 2000 años con dibujos?
¿Has leído los elementos de Euclides?
Las demostraciones son totalmente rigurosas.

De acuerdo. Las demostraciones se basan en los dibujos.

Saludos
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« Respuesta #17 : 21/02/2019, 06:07:32 am »

Hola

Mi comentario incluía la palabra "riguroso", no "orientador", por lo que estoy claramente de acuerdo con vos, no así que las demostraciones incluyan dibujos, porque GeoGebra (ni ningún otro programa informático) deja de ser preciso a una escala de digamos [texx]10^{\pm500000}[/texx], y a mano mucho peor.

Precisamente lo que te comenté en el apartado anterior, es que es intrascendente la exactitud del dibujo. Éste es una forma esquemática de exponer la demostración que ahorra palabras, y ayuda a entender mejor las escritas. Por ejemplo en ese caso me ahorra decir "sea [texx]E[/texx] el punto de corte de la altura [texx]d[/texx] con la hipotenusa".

Realmente no entiendo porque este hilo te ha sugerido hacer la crítica al uso de dibujos; tuviste una confusión inicial que nada tiene que ver con los dibujos, sino con que por un momento no recordaste o no  tuviste en cuenta como se define la altura de un triángulo sobre un lado.

Por lo demás en la demostración que expuse el dibujo simplemente evita algunas palabras y permite entender más fácilmente la prueba, pero no es troncal.

Cita
Antes la matemática no existía el concepto de que algo debe ser probado "rigurosamente", por lo que hace miles de años estoy de acuerdo que su método fueran dibujos y esquemas y demostraciones poco rigurosas, pero a día de hoy es inadmisible. Me gustaría leer una demostración de 2019 donde su prueba conste íntegramente de dibujitos (con la idea de que se usen para demostrar); no existen. En cambio, existen dibujos orientadores, de los cuales estoy totalmente de acuerdo.

mmmm....sufrirás con este documento:  :guiño:

"Proofs without words".

Te puede gusta más este artículo:

https://www.whitman.edu/Documents/Academics/Mathematics/Miller.pdf

donde en su parte final se discute si se puede considerar válida o no una demostración visual.

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« Respuesta #18 : 21/02/2019, 06:42:22 am »

El segundo link no lo he pinchado, pero es que con el primero estoy maravillado.
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