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Autor Tema: Ideales (I)  (Leído 287 veces)
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« : 18/02/2019, 07:08:23 pm »

Hola buenas noches, no sé muy bien cómo se prueba lo siguiente.

Tenemos el anillo [texx]A= \mathbb{Z} [ \sqrt[ ]{10} ][/texx] ,y consideramos el ideal [texx]I=(2,\sqrt[ ]{10})[/texx]

Luego esta claro que el ideal es el conjunto de la forma [texx]x = 2 \alpha  + \sqrt[ ]{10} \beta[/texx], donde [texx]\alpha[/texx] , [texx]\beta[/texx] [texx]\in[/texx] [texx]\mathbb{Z[\sqrt[ ]{10}]}[/texx], es decir el conjunto [texx]I = \{ 2a + b\sqrt[ ]{10} : a,b \in  \mathbb{Z} \}[/texx].

Entonces ahora para probar que el Ideal [texx]I[/texx], no es principal, es decir no está generado por un elemento, por reducción al absurdo supongamos que [texx]I=(s)[/texx], donde [texx]s=a_0+b_0\sqrt[ ]{10}[/texx] [texx]\in[/texx] [texx]A= \mathbb{Z} [ \sqrt[ ]{10} ][/texx].

Luego [texx]2 \in (s)[/texx] y de forma análoga [texx]\sqrt[ ]{10} \in (s)[/texx], esto implica existen constantes [texx]k_1,k_2[/texx] tal que [texx]2=k_1s[/texx] , [texx]\sqrt[ ]{10}=k_2s[/texx], y usando la norma definida en [texx]A[/texx],  se tiene [texx]N(2)=N(k_1s)=N(k_1)N(s)[/texx] , y de forma análoga, [texx]N(\sqrt[ ]{10})=N(k_2s)=N(k_2)N(s)[/texx].

Esto es que [texx]N(s)=a_0^2 - 10b_0^2[/texx] divide a [texx]N(2)=4[/texx], y a [texx]N(\sqrt[ ]{10})=-10[/texx], luego divide a [texx]mcd(4,-10)=2[/texx], por tanto se tiene que existe [texx]z \in \mathbb{Z}[/texx] tal que [texx](a_0^2 - 10b_0^2 ) \cdot z= 2[/texx], luego como 2 es primo, sus únicos divisores son [texx]+-2[/texx], y [texx]+-1[/texx], Apartir de aquí divido en casos , ¿cómo se terminaría?

La segunda duda importante que no termino de aclarar es ver que [texx]A_{/I}[/texx] es isomorfo a [texx]\mathbb{Z}_2 [/texx], de aquí sólo deduzco por intuición que dichas clases sería [texx]C_1 = \{ 2a + b\sqrt[ ]{10} : a,b \in  \mathbb{Z} \}[/texx] Y [texx]C_2= \{ 2a+1 + b\sqrt[ ]{10} : a,b \in  \mathbb{Z} \}[/texx].

Muchas gracias de antemano :sonrisa:

Saludos.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 19/02/2019, 06:20:21 am »

Hola

Hola buenas noches, no sé muy bien cómo se prueba lo siguiente.

Tenemos el anillo [texx]A= \mathbb{Z} [ \sqrt[ ]{10} ][/texx] ,y consideramos el ideal [texx]I=(2,\sqrt[ ]{10})[/texx]

Luego esta claro que el ideal es el conjunto de la forma [texx]x = 2 \alpha  + \sqrt[ ]{10} \beta[/texx], donde [texx]\alpha[/texx] , [texx]\beta[/texx] [texx]\in[/texx] [texx]\mathbb{Z[\sqrt[ ]{10}]}[/texx], es decir el conjunto [texx]I = \{ 2a + b\sqrt[ ]{10} : a,b \in  \mathbb{Z} \}[/texx].

Entonces ahora para probar que el Ideal [texx]I[/texx], no es principal, es decir no está generado por un elemento, por reducción al absurdo supongamos que [texx]I=(s)[/texx], donde [texx]s=a_0+b_0\sqrt[ ]{10}[/texx] [texx]\in[/texx] [texx]A= \mathbb{Z} [ \sqrt[ ]{10} ][/texx].

Luego [texx]2 \in (s)[/texx] y de forma análoga [texx]\sqrt[ ]{10} \in (s)[/texx], esto implica existen constantes [texx]k_1,k_2[/texx] tal que [texx]2=k_1s[/texx] , [texx]\sqrt[ ]{10}=k_2s[/texx], y usando la norma definida en [texx]A[/texx],  se tiene [texx]N(2)=N(k_1s)=N(k_1)N(s)[/texx] , y de forma análoga, [texx]N(\sqrt[ ]{10})=N(k_2s)=N(k_2)N(s)[/texx].

Esto es que [texx]N(s)=a_0^2 - 10b_0^2[/texx] divide a [texx]N(2)=4[/texx], y a [texx]N(\sqrt[ ]{10})=-10[/texx], luego divide a [texx]mcd(4,-10)=2[/texx], por tanto se tiene que existe [texx]z \in \mathbb{Z}[/texx] tal que [texx](a_0^2 - 10b_0^2 ) \cdot z= 2[/texx], luego como 2 es primo, sus únicos divisores son [texx]+-2[/texx], y [texx]+-1[/texx], Apartir de aquí divido en casos , ¿cómo se terminaría?

Previamente podrías comprobar que [texx](2,\sqrt{10})\neq \Bbb Z[\sqrt{10}][/texx].

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Entonces si [texx]N(s)=1[/texx], [texx]s[/texx] sería inversible y [texx](2,\sqrt{10})=(s)=\Bbb[\sqrt{10}][/texx] lo cual acabamos de ver que no se da.

Por otra parte la ecuación [texx]a^2-10b^2=\pm 2[/texx] no tiene solución módulo [texx]5[/texx], luego no tiene solución en los enteros.

Fíjate que módulo [texx]5[/texx] los posibles valores de un cuadrado son: [texx]0^2=0,\,1^2\equiv 1,\,2^2\equiv 4,\,3^2\equiv 4,\,4^2\equiv 1[/texx]

Cita
La segunda duda importante que no termino de aclarar es ver que [texx]A_{/I}[/texx] es isomorfo a [texx]\mathbb{Z}_2 [/texx], de aquí sólo deduzco por intuición que dichas clases sería [texx]C_1 = \{ 2a + b\sqrt[ ]{10} : a,b \in  \mathbb{Z} \}[/texx] Y [texx]C_2= \{ 2a+1 + b\sqrt[ ]{10} : a,b \in  \mathbb{Z} \}[/texx].

Define la aplicación:

[texx]f:\Bbb Z[\sqrt{10}]\to \Bbb Z_2[/texx]

[texx]f(a+b\sqrt{10})=[ a][/texx]

Comprueba que es un morfismo de anillos, sobreyectivo y que [texx]ker(f)=(2,\sqrt{10})[/texx]. Aplica los Teoremas de Isomorfía:

[texx]\dfrac{\Bbb Z[\sqrt{10}]}{ker(f)}\cong Im(f)[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #2 : 20/02/2019, 07:16:37 pm »

Hola Luis Fuentes, gracias por la respuesta, me quedo claro tanto la duda 1 como la 2.

Saludos :sonrisa:
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