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Autor Tema: ¿Teoremas cuyo enunciado general sea más fácil de probar que uno particular?  (Leído 624 veces)
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manooooh
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« : 17/02/2019, 03:05:11 am »

Hola!

¿Existen teoremas matemáticos cuyo enunciado general sea más fácil de probar que uno particular?

Por ejemplo, el teorema de Fermat afirma que es imposible que se de una igualdad para números naturales mayores que [texx]2[/texx], mientras que ya se habían probado casos particulares. Sin embargo, el caso general ha sido más "difícil" de probar que algunos casos particulares.

Con "difícil" me refiero a la cantidad de tiempo que tardó en demostrarse un teorema. Si quieren, podemos meter algo de subjetividad y agregar que "difícil" se refiere al nivel de matemáticas que se ha necesitado para abordar el problema, aunque claramente para ciertas personas les será más fácil entender la demostración que para otros.

Lo que estoy preguntando es al revés: si existen casos particulares (todos los que se demostraron) que actualmente sean más difíciles de probar que el caso general (que reúna a los casos particulares).

Me da igual si primero se abordaron casos particulares y luego generales, o al revés, o lo que sea. Me gustaría saber la historia final, y no cómo se llegó.



Si me aseguran que "Siempre el caso general es más difícil de probar que el particular", ¿por qué lo saben? ¿Existe una prueba de que la dificultad de una prueba aumenta si se trata de un caso general, siempre? ¡Me gustaría verla!



Yo no tengo ninguno en mente :avergonzado:. ¿Ustedes? :risa:.

Gracias!
Saludos
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Fernando Revilla
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Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).


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« Respuesta #1 : 17/02/2019, 08:07:45 am »

¿Existen teoremas matemáticos cuyo enunciado general sea más fácil de probar que uno particular?

Sí. Mira aquí (apartado 3) la demostración del teorema de Pitágoras para espacios euclídeos (apenas un par de líneas). Contrasta con la demostración en el plano euclídeo a partir de los teoremas del cateto y de la altura. Mira por ejemplo aquí.

P.D. Por supesto que un individuo que no ha estudiado la teoría general de espacios euclídeos, consideraría algo "tramposo" el ejemplo que he puesto.   :sonrisa:
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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #2 : 17/02/2019, 12:18:05 pm »

El teorema del valor medio se prueba con el teorema de Rolle que es un caso particular.
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manooooh
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« Respuesta #3 : 17/02/2019, 08:59:06 pm »

Hola

Sí. Mira aquí (apartado 3) la demostración del teorema de Pitágoras para espacios euclídeos (apenas un par de líneas). Contrasta con la demostración en el plano euclídeo a partir de los teoremas del cateto y de la altura. Mira por ejemplo aquí.

"La recopilación de Loomis es todavía, sin duda alguna, la colección más importante de pruebas y demostraciones del Teorema de Pitágoras. Contiene 370 pruebas o demostraciones donde las correspondientes figuras, son dibujadas de forma artesanal con los limitados medios gráficos de la época y con las letras manuscritas, lo que no le resta mérito a una obra de valor científico y didáctico inconmensurable que tiene la gracia de concluir con la frase: "[...] y el final no ha llegado todavía"".

¿¡370 pruebas dijo!? ¡Increíble! Gracias por compartirlo :sonrisa_amplia:.

P.D. Por supesto que un individuo que no ha estudiado la teoría general de espacios euclídeos, consideraría algo "tramposo" el ejemplo que he puesto.   :sonrisa:

Claro... la cuestión es saber cuántos teoremas previos se requieren para probar el teorema de Pitágoras en 2 o 3 líneas.

Ahora pienso que no tiene sentido la pregunta que formulé; es imposible medir un teorema en "difícil" o "fácil" porque siempre habrán otros teoremas previos del que hacen uso, y a uno le pasará que lo entiende mejor y otro que no lo entiende.

De todas maneras es un ejemplo que buscaba, Fernando. Súper interesante.

Saludos
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manooooh
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« Respuesta #4 : 17/02/2019, 09:03:25 pm »

Hola

El teorema del valor medio se prueba con el teorema de Rolle que es un caso particular.

No entiendo. ¿Acaso los dos teoremas no son "igual de fáciles de probar"?

Gracias y saludos
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Alejandro Caballero
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« Respuesta #5 : 17/02/2019, 09:32:57 pm »

Depende de lo que entendamos por general, pero si en sentido estricto tú quieres comprobar una propiedad [texx]\alpha[/texx] para todos los elementos de una clase [texx]A[/texx]:

Todo [texx]x[/texx] de [texx]A[/texx] cumple [texx]\alpha(x)[/texx].

Y tienes una prueba para un subconjunto [texx]B\subseteq A[/texx] honestamente más larga (que incluso añadiendo las pruebas de todos los teoremas previos que necesitas sigue siendo más larga) de que

Todo [texx]x[/texx] de [texx]B[/texx] cumple [texx]\alpha(x)[/texx].

Entonces también tendrás una prueba más corta reproduciendo la anterior.

Por otra parte, concepto de fácil o difícil no es muy preciso, pero aunque suele pasar que los casos generales son más abstractos, también puede pasar que te ayuden a entender mejor cosas que antes parecían casuales. Por ejemplo, a mí se me antoja que el concepto de diferencial se vuelve crucial en espacios reales de más de una dimensión pero es más difícil entender su utilidad en una dimensión, donde la derivada te funciona «igual de bien».

Edito: Ten cuidado de que la propiedad [texx]\alpha[/texx] realmente sea la misma. Podemos entender que [texx]\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{R}[/texx] y que no es cierto que que todos los elementos de [texx]\mathbb{Z}[/texx] menos el cero sean divisibles entre ellos aunque en [texx]\mathbb{R}[/texx] lo sea, porque una cosa es ser divisible en [texx]\mathbb{Z}[/texx] y otra distinta ser divisible en [texx]\mathbb{R}[/texx].
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feriva
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« Respuesta #6 : 18/02/2019, 05:30:40 am »

Buenos días, manooooh.

Tendría que saber mucho para contestar a eso, pero se me ocurre comentar algo:



Con "difícil" me refiero a la cantidad de tiempo que tardó en demostrarse un teorema.


Por definición, un número natural es finito. Para aseverar esto nos apoyamos en la propiedad de cerradura algebraica, que se base en que, si uno va contando naturales, “lleva la cuenta”, como es obvio; es decir, es consciente del número más grande que ha pensado en concreto. El argumento es la demostración en sí; después, las demostraciones se pueden “pintar” en un papel, se puede expresar con garabatos tal razonamiento a través de un lenguaje convenido, y algunos ven en ello la “prueba”, cuando eso no es absolutamente nada sin la idea previa, sin el argumento que representa.

Y esa demostración es corta, cortísima. Sin embargo, si uno quisiera probarla particularmente para cada número, no sería más larga ni más corta, sería imposible.

Saludos.
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