19/08/2019, 02:34:43 am *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Renovado el procedimiento de inserción de archivos GEOGEBRA en los mensajes.
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Pregunta sobre congruencias  (Leído 669 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Fernando Moreno
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 175



Ver Perfil
« : 14/02/2019, 05:12:59 am »

Hola. Estoy tratanto de leer/entender a ratos un libro sobre el Último Teorema de Fermat para aficionados y me encuentro que en un momento dado se analiza esto:  " [texx]x\equiv y[/texx] mod [texx]5[/texx] " .  El autor continua y dice que ahora eleva a la quinta potencia y que por lo tanto:  [texx]x^5\equiv y^5[/texx] mod [texx]5^2[/texx] .

Lo que no entiendo es por qué al elevar a la quinta potencia esto significa automáticamente (o trivialmente) que puedo utilizar la congruencia módulo  [texx]25[/texx] ,  además claro de la de  [texx]5[/texx] .

Supongo que la pregunta es un poco tonta, pero más tonto sería quedarse sin averiguarlo teniendo además este maravilloso instrumento que es el Foro de Rinconmatematico.

Un saludo, 
En línea

  Cuando alcanzamos lo otro, atravesamos a Dios.  F. Moreno 
martiniano
Pleno*
*****

Karma: +2/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 829


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 14/02/2019, 05:43:58 am »

Hola.

La congruencia de la que se parte viene a decir que existe un entero [texx]k[/texx] tal que [texx]x=y+5k[/texx]. Elevando ambos miembros a [texx]5[/texx] y aplicando en la derecha lo del binomio de Newton se saca enseguida lo que buscas.

Saludos.
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 44.569


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 14/02/2019, 06:54:56 am »

Hola

Hola. Estoy tratanto de leer/entender a ratos un libro sobre el Último Teorema de Fermat para aficionados y me encuentro que en un momento dado se analiza esto:  " [texx]x\equiv y[/texx] mod [texx]5[/texx] " .  El autor continua y dice que ahora eleva a la quinta potencia y que por lo tanto:  [texx]x^5\equiv y^5[/texx] mod [texx]5^2[/texx] .

Lo que no entiendo es por qué al elevar a la quinta potencia esto significa automáticamente (o trivialmente) que puedo utilizar la congruencia módulo  [texx]25[/texx] ,  además claro de la de  [texx]5[/texx] .

Directamente por el pequeño teorema de Fermat [texx]x^5\equiv x\quad mod\quad 5[/texx] (en general [texx]x^p\equiv p\quad mod\quad p[/texx], para [texx]p[/texx] primo).

Saludos.
En línea
Fernando Moreno
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 175



Ver Perfil
« Respuesta #3 : 14/02/2019, 07:23:03 am »

Hola. Muchas gracias martiniano y Luis Fuentes.

Para generalizar lo que dice martiniano he de entender entonces que los coeficientes del binomio de Newton de un número primo son siempre múltiplos del mismo ¿no? Así que se podría hacer lo mismo si tengo:  [texx]x\equiv y[/texx] mod [texx]7[/texx]   [texx]\Rightarrow{}[/texx]    [texx]x^7\equiv y^7[/texx] mod [texx]7^2[/texx] .  Si es así ahora lo entiendo.

Lo que no acabo de ver claro es lo que dice Luis. Lo del Pequeño Teorema de Fermat lo conocía. Si tengo:  [texx]x^5-y^5\equiv 0[/texx] mod [texx]5[/texx] ;  tendré:  [texx]x^5-y^5\equiv x-y\equiv 0[/texx] mod [texx]5[/texx] .  Sé que  [texx]x-y[/texx]  es factor de  [texx]x^5-y^5[/texx] .  Pero de ahí no veo que automáticamente signifique que  [texx]25[/texx]  divida á  [texx]x^5-y^5[/texx] ,  a no ser que desarrolle el otro factor y saque consecuencias.

Un saludo,   
En línea

  Cuando alcanzamos lo otro, atravesamos a Dios.  F. Moreno 
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 44.569


Ver Perfil
« Respuesta #4 : 14/02/2019, 08:00:23 am »

Hola

Lo que no acabo de ver claro es lo que dice Luis. Lo del Pequeño Teorema de Fermat lo conocía. Si tengo:  [texx]x^5-y^5\equiv 0[/texx] mod [texx]5[/texx] ;  tendré:  [texx]x^5-y^5\equiv x-y\equiv 0[/texx] mod [texx]5[/texx] .  Sé que  [texx]x-y[/texx]  es factor de  [texx]x^5-y^5[/texx] .  Pero de ahí no veo que automáticamente signifique que  [texx]25[/texx]  divida á  [texx]x^5-y^5[/texx] ,  a no ser que desarrolle el otro factor y saque consecuencias.

Si, perdona estoy tonto. Estaba pensando simplemente en [texx]x^5=y^5[/texx] mod [texx]5[/texx], en lugar de mod [texx]25[/texx].

Pero otra forma de verlo. Si [texx]x=y[/texx] mod [texx]p[/texx] impar. Entonces:

[texx]x^p-y^p=(x-y)(x^{p-1}+xy^{p-2}+\ldots+y^{p-1})[/texx]

Entonces por una parte [texx]x-y[/texx] es múltiplo de [texx]p[/texx] por hipótesis. Por otro lado como [texx]x= y[/texx] mod [texx]p[/texx], el otro factor módulo [texx]p[/texx] queda:

[texx]x^{p-1}+xy^{p-2}+\ldots+y^{p-1}=x^{p-1}+xx^{p-2}+\ldots+x^{p-1}=px^{p-1}=0[/texx] mod [texx]p[/texx]

es decir también es múltiplo de [texx]p[/texx] y así [texx]x^p-y^p[/texx] es múltiplo de [texx]p^2[/texx].

Saludos.
En línea
martiniano
Pleno*
*****

Karma: +2/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 829


Ver Perfil
« Respuesta #5 : 14/02/2019, 08:06:19 am »

Hola.

Para generalizar lo que dice martiniano he de entender entonces que los coeficientes del binomio de Newton de un número primo son siempre múltiplos del mismo ¿no? Así que se podría hacer lo mismo si tengo:  [texx]x\equiv y[/texx] mod [texx]7[/texx]   [texx]\Rightarrow{}[/texx]    [texx]x^7\equiv y^7[/texx] mod [texx]7^2[/texx] .  Si es así ahora lo entiendo.

Sí. Estás en lo cierto.

Un saludo.
En línea
Fernando Moreno
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 175



Ver Perfil
« Respuesta #6 : 14/02/2019, 08:18:26 am »

Hola. ¡Muchísimas gracias a los dos!

Pero otra forma de verlo. Si [texx]x=y[/texx] mod [texx]p[/texx] impar. Entonces:

[texx]x^p-y^p=(x-y)(x^{p-1}+xy^{p-2}+\ldots+y^{p-1})[/texx]

Entonces por una parte [texx]x-y[/texx] es múltiplo de [texx]p[/texx] por hipótesis. Por otro lado como [texx]x= y[/texx] mod [texx]p[/texx], el otro factor módulo [texx]p[/texx] queda:

[texx]x^{p-1}+xy^{p-2}+\ldots+y^{p-1}=x^{p-1}+xx^{p-2}+\ldots+x^{p-1}=px^{p-1}=0[/texx] mod [texx]p[/texx]

es decir también es múltiplo de [texx]p[/texx] y así [texx]x^p-y^p[/texx] es múltiplo de [texx]p^2[/texx].

¡Esto me encanta!
En línea

  Cuando alcanzamos lo otro, atravesamos a Dios.  F. Moreno 
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!