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Autor Tema: Inversión demostración de un teorema  (Leído 77 veces)
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nico
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« : 12/02/2019, 03:52:20 pm »

Hola a todos, tengo que probar el siguiente teorema.
"Cualquier circunferencia que pase por dos puntos distintos, inversos uno del otro, es su propia inversa y además es ortogonal a la circunferencia de inversión.

Voy a considerar solamente el caso en que la circunferencia no pase por el centro de inversión y que el punto considerado tampoco coincida con el centro de inversión.

Dem:
Sea cfa [texx]\alpha[/texx] con las consideraciones indicada anteriormente, P' = Inv(P) y P' [texx]\in{}[/texx][texx]\alpha[/texx]
Sea T uno de los puntos de contacto entre las dos circunferencias [texx]\alpha[/texx] y [texx]\omega[/texx] (esta es la circunferencia de inversión)

Por lo tanto Inv(T) = T

Los puntos P. P' y T son puntos no alineados que determinan a la cfa. [texx]\alpha[/texx] que es única, por lo tanto Inv([texx]\alpha[/texx]) = [texx]\alpha[/texx]

Me falta probar que esta circunferencia es ortogonal a la circunferencia de inversión. ¿Alguna sugerencia?

Saludos.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 13/02/2019, 07:03:56 am »

Hola

 Si [texx]P,P'[/texx] son puntos uno inverso del otro con respecto a una circunferencia de radio [texx]r[/texx] y centro [texx]O[/texx], por definición se tiene que:

[texx] OP\cdot OP'=r^2[/texx]

 Ahora sea [texx]\alpha[/texx] otra circunferencia pasando por [texx]PP'[/texx], sea [texx]A[/texx] punto de corte de las dos circunferencias y [texx]B[/texx] el segundo punto de corte de la recta [texx]OA[/texx] con la segunda circunferencia. Se tiene que [texx]OA=r[/texx]. Las circunferencias se cortan ortogonalmente si [texx]A=B[/texx].

 Si analizamos la potencia del punto [texx]O[/texx] con respecto a la circunferencia [texx]\alpha[/texx] se tiene que:

[texx]OA\cdot OB=OP\cdot OP=r^2[/texx]
[texx]r\cdot OB=r^2\quad \Rightarrow{}\quad OB=r=OA[/texx]

 y por tanto [texx]A=B[/texx].

Saludos.
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nico
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« Respuesta #2 : 13/02/2019, 09:29:37 am »

Hola Luis, yo había arrancado para demostrar la unicidad de la cfa. alfa por la propia invariancia del punto de corte entre estas circunferencias. Pero con la demostración que me presentaste me resultó mucho mejor, aplicando la definición de inversión y de considerar la recta OA.

 Muchas gracias como siempre, son muy valiosos tus aportes para mi formación.

Saludos
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nico
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« Respuesta #3 : 20/02/2019, 11:51:38 pm »

Hola Luis, antes que nada quiero agradecerte por todo el aprendizaje que siempre me dejan tus aportes, haciéndome pensar y rever las cosas. Te cuento que aprobé este examen de profundización de geometría. Bueno ahora a seguir con topología y probabilidad y estadística.

Gracias.

Saludos Aplauso
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #4 : Ayer a las 04:18:38 am »

Hola

Te cuento que aprobé este examen de profundización de geometría.

¡Enhorabuena!  Aplauso

Saludos.
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