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Autor Tema: Dados un conjunto y una base de \(\Bbb R^3\), hallar coordenadas de vectores  (Leído 662 veces)
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manooooh
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« : 11/02/2019, 08:35:44 pm »

Hola!

Sean [texx]\Bbb S=\{\vec x\in\Bbb R^3\mid x_1-x_2=0\}[/texx] y [texx]B=\{(1,2,1),v,(2,1,1)\}[/texx] una base de [texx]\Bbb R^3[/texx]. Se sabe que [texx][(-3,9,1)]_B=\Bigl(\begin{smallmatrix}2\\3\\-1\end{smallmatrix}\Bigr)[/texx].

Hallar las coordenadas en base [texx]B[/texx], de los vectores de una base de [texx]\Bbb S^\perp[/texx].




En primer lugar no sé si hallé correctamente el vector [texx]v[/texx]:

Sabemos que si [texx][(-3,9,1)]_B=\Bigl(\begin{smallmatrix}2\\3\\-1\end{smallmatrix}\Bigr)[/texx] entonces

[texx]\cancel{\displaystyle-3(1,2,1)+9(v_1,v_2,v_3)+1(2,1,1)=(2,3,-1)\implies\begin{cases}-3+9v_1+2=2,\\-6+9v_2+1=3,\\-3+9v_3+1=-1\end{cases}\equiv\begin{cases}v_1=1/3,\\v_2=8/9,\\v_3=1/9\end{cases}\implies v=\left(\frac13,\frac89,\frac13\right).}[/texx]

[texx]\displaystyle2(1,2,1)+3(v_1,v_2,v_3)+(-1)(2,1,1)=(-3,9,1)\implies\begin{cases}2+3v_1-2=-3,\\4+3v_2-1=9,\\2+3v_3-1=1\end{cases}\equiv\begin{cases}v_1=-1,\\v_2=2,\\v_3=0\end{cases}\implies v=(-1,2,0).[/texx]



Luego, para hallar el complemento ortogonal de un subespacio debemos conocer una base de la misma, y luego será [texx]\Bbb S^\perp=\{\vec m\in\Bbb V\mid \vec v\cdot\vec w=0,\,\forall w\in\Bbb S\}[/texx], pero no sé cómo hallar ese conjunto "en la base [texx]B[/texx]", ya que:

Una base de [texx]\Bbb S[/texx] es [texx]U_{\Bbb S}=\{(1,1,0),(0,0,1)\}[/texx], entonces para hallar las coordenadas de la base [texx]U_{\Bbb S^\perp}[/texx] debo resolver el siguiente sistema:

[texx]\begin{cases}(x,y,z)\cdot(1,1,0)=0\\(x,y,z)\cdot(0,0,1)=0\end{cases}\equiv\begin{cases}y=-x\\z=0\end{cases}\implies U_{\Bbb S^\perp}=\{(1,-1,0)\},[/texx]

pero esta base NO ESTÁ en la base [texx]B[/texx], por lo que para pasarla a la base [texx]B[/texx] debemos plantear que [texx][(1,-1,0)]_B=\Bigl(\begin{smallmatrix}x\\y\\z\end{smallmatrix}\Bigr)[/texx]. Entonces:

[texx]\cancel{\displaystyle1(1,2,1)+(-1)\left(\frac13,\frac89,\frac13\right)+0(2,1,1)=(x,y,z)\implies\begin{cases}1-1/3=x,\\2-8/9=y,\\1-1/3=z\end{cases}\equiv\begin{cases}x=2/3,\\y=10/9,\\z=2/3,\end{cases}}[/texx]

[texx]\displaystyle x(1,2,1)+y(-1,2,0)+z(2,1,1)=(1,-1,0)\implies\begin{cases}x-y+2z=1,\\2x+2y+z=-1,\\x+z=0\end{cases}\equiv\begin{cases}x=-1,\\y=0,\\z=1,\end{cases}[/texx]

por lo que la respuesta definitiva sería que las coordenadas en la base [texx]B[/texx] de una base de [texx]\Bbb S^\perp[/texx] (que llamamos [texx]U_{\Bbb S^\perp}[/texx]) es [texx]\cancel{\boxed{(x,y,z)=(2/3,10/9,2/3)}}[/texx] [texx]\boxed{(x,y,z)=(-1,0,1)}[/texx], ¿es correcto? :¿eh?:.

Gracias!
Saludos

AGREGADO: En realidad creo que está todo bien salvo que nunca sé si por ejemplo [texx][(-3,9,1)]_B=\Bigl(\begin{smallmatrix}2\\3\\-1\end{smallmatrix}\Bigr)[/texx] es como lo he escrito, o bien si es equivalente a [texx]2(1,2,1)+3(v_1,v_2,v_3)+(-1)(2,1,1)=(-3,9,1)[/texx] :¿eh?:

EDITADO. Creo que estaba equivocado, por lo que lo corregí
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delmar
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« Respuesta #1 : 11/02/2019, 11:38:01 pm »

Hola manooooh

Lo que has hecho en verde es correcto. Una acotación, en este caso, el producto vectorial de los elementos de la base de S es ortogonal a S y por si, constituye una base del complemento ortogonal de S.

Saludos
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manooooh
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« Respuesta #2 : 12/02/2019, 02:10:14 am »

Hola delmar

Lo que has hecho en verde es correcto. Una acotación, en este caso, el producto vectorial de los elementos de la base de S es ortogonal a S y por si, constituye una base del complemento ortogonal de S.

¡Gracias por la observación y la acotación! Han sido muy útiles.

Saludos
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