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Autor Tema: Coeficientes binomiales al cuadrado  (Leído 417 veces)
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thadeu
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« : 12/02/2019, 09:48:33 pm »

Si [texx]n[/texx] es un entero positivo,
Pruebe que. [texx] \displaystyle{2n \choose n}= \displaystyle{n \choose 0}^2+ \displaystyle{n \choose 1}^2+ \displaystyle{n \choose 2}^2+...+ \displaystyle{n \choose n}^2[/texx]
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 13/02/2019, 04:25:18 am »

Hola

Si [texx]n[/texx] es un entero positivo,
Pruebe que. [texx] \displaystyle{2n \choose n}= \displaystyle{n \choose 0}^2+ \displaystyle{n \choose 1}^2+ \displaystyle{n \choose 2}^2+...+ \displaystyle{n \choose n}^2[/texx]

Método I:

En general [texx]\displaystyle\binom{m}{k}[/texx] son el número de subconjuntos de [texx]k[/texx] elementos de un conjunto de [texx]m[/texx] elementos.

Si tenemos un conjunto [texx]A[/texx] de [texx]2n[/texx] elementos divididos en dos grupos [texx]A_1,A_2[/texx] de [texx]n[/texx] elementos cada uno, entonces un subconjunto de [texx]A[/texx] de [texx]n [/texx]elementos se construye eligiendo [texx]k[/texx] elementos de [texx]A_1[/texx] y [texx]n-k[/texx] de [texx]A_2[/texx].

De ahí:

[texx]\displaystyle\binom{2n}{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^n{}\displaystyle\binom{n}{k}\displaystyle\binom{n}{n-k}=
\displaystyle\sum_{k=0}^n{}\displaystyle\binom{n}{k}\displaystyle\binom{n}{k}=\displaystyle\sum_{k=0}^n{}\displaystyle\binom{n}{k}^2[/texx]

Método II.

[texx](1+x)^{2n}=(1+x)^n(1+n)^n[/texx]

Por el Binomio de Newton:

[texx]\displaystyle\sum_{k=0}^{2n}{}\displaystyle\binom{2n}{k}x^k=\left(\displaystyle\sum_{i=0}^n{}\displaystyle\binom{n}{i}x^i\right)
\left(\displaystyle\sum_{j=0}^n{}\displaystyle\binom{n}{j}x^j\right)[/texx]

Compara los coeficientes de [texx]x^n[/texx] de ambos términos.

Método III. Es una caso particular de la identidad de Vandermonde.

[texx]\displaystyle\binom{m+n}{r}=\displaystyle\sum_{k=0}^r{}\displaystyle\binom{m}{k}\displaystyle\binom{n}{r}[/texx]

Además de las pruebas que aparecen en el enlace lo puedes demostrar por inducción en [texx]N=m+n[/texx].

Saludos.
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thadeu
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« Respuesta #2 : 14/02/2019, 10:40:21 am »

muchas  gracias Luis.
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