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Autor Tema: Potencia de dos igual a suma de coeficientes binomiales.  (Leído 658 veces)
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thadeu
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« : 10/02/2019, 12:40:03 pm »

Sea [texx]n[/texx] un entero no negativo. Pruebe que [texx]2^n={n \choose 0} +{n \choose 1} +...+{n \choose n} [/texx]
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GaToMi
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« Respuesta #1 : 10/02/2019, 01:05:48 pm »

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thadeu
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« Respuesta #2 : 10/02/2019, 01:09:43 pm »

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Hola GaToMi,
no lo había visto así.
 Gracias y saludos.
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« Respuesta #3 : 10/02/2019, 03:36:40 pm »

Otra forma más complicada es utilizando inducción en [texx]n[/texx] y la identidad [texx]\binom n k=\binom{n-1}k+\binom{n-1}{k-1}[/texx]:

Caso base: tomamos [texx]n=1[/texx] entonces tenemos que [texx]\binom 1 0+\binom 1 1=1+1=2^1[/texx] (también se cumple con [texx]n=0[/texx]).

Hipótesis inductiva: ahora supongamos que [texx]\sum_{k=0}^n\binom n k=2^n[/texx].

Paso inductivo:

[texx]\displaystyle \sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}k=\sum_{k=0}^{n+1}\left(\binom n{k-1}+\binom n k\right)
=\sum_{k=-1}^n\binom n k+\sum_{k=0}^{n+1}\binom n k=\binom n{-1}+2^n+2^n+\binom n{n+1}=0+2^n+2^n+0=2^{n+1}[/texx]

La identidad final viene determinada por el hecho de que se define consistentemente [texx]\binom n k:=0[/texx] cuando [texx]n\ge 0[/texx] y [texx]k>n[/texx] o [texx]k<0[/texx]. No es necesario utilizar estas definiciones si restringimos la identidad [texx]\binom{n+1}k=\binom n k+\binom n{k-1}[/texx] a los casos donde [texx]k\in[1,n][/texx], llegando al mismo resultado.
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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #4 : 10/02/2019, 04:47:13 pm »

Otro camino, si tienes un conjunto de [texx]n[/texx] elementos  [texx]X=\{x_1,x_2,\cdots,x_n\} [/texx].
Hay [texx]\displaystyle {n \choose k} [/texx] subconjuntos de [texx]k[/texx] elementos y esto se puede ver como:

[texx]A_k = \{(x_1,c_2,.,x_j,..,c_i...,x_n) \} [/texx] donde [texx]x_i[/texx] significa que [texx]x_i\in A[/texx] y [texx]c_j \notin A [/texx].
Y hay tantos subconjuntos de [texx]k[/texx] elementos como combinaciones de [texx]k[/texx] números elegidos de entre [texx]n[/texx] números.

Entonces nos quedan [texx]\displaystyle |P(X)| = \sum_{i=0}^n {n \choose i} [/texx] subconjuntos.

Por otra parte por cada elemento [texx]x_i [/texx] hay dos opciones que este en un subconjunto o no entonces :
Hay [texx]2 \cdot 2 \cdots \cdot 2 = 2^n [/texx] opciones.

Otra cosa sería usar que [texx] \displaystyle \sum_{i=0}^n {n \choose i} [/texx] nos da el total de subconjuntos de un conjunto [texx]X[/texx] y luego probar por inducción que [texx]|P(X)|=2^n [/texx] para un conjunto de [texx]n[/texx] elementos.
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