25/04/2019, 05:43:24 pm *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: LISTADO ACTUALIZADO DE CURSOS
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Sigma-álgebra engendrada.  (Leído 287 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
vicentebarba
Junior
**

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 39


Ver Perfil
« : 11/02/2019, 01:54:54 pm »

¡Hola!

Me he quedado atascado con un ejercicio, que no creo que sea demasiado difícil pero no termino de ver qué es lo que tengo que probar. El enunciado es así:

Sean [texx]\mathcal{G} \subset \mathcal{P}(\Omega)[/texx] una [texx]\sigma[/texx]-álgebra y sea [texx]H \subset \Omega[/texx]. Se definen las familias de subconjuntos [texx]\mathcal{A}=\{ H \} \cup \mathcal{G}[/texx] e [texx]\mathcal{I} = \{ (H \cap E) \cup (H^c \cap F) : E, F \in \mathcal{G} \}[/texx]. Demostrar que [texx]\mathcal{I} = \sigma(\mathcal{A})[/texx], es decir, la [texx]\sigma[/texx]-álgebra engendrada por el conjunto [texx]\mathcal{A}[/texx].

Mi problema es que no sé exactamente qué elementos son los que hay en el conjunto [texx]\mathcal{I}[/texx]. De todos modos, supongo que son las uniones de intersecciones de elementos de la sigma-álgebra con el conjunto [texx]H[/texx].

1. Para probar que el espacio muestral está contenido en [texx]\mathcal{I}[/texx] he tomado [texx]E=F=\Omega[/texx] y así me queda

[texx](H \cap \Omega) \cup (H^c \cap \Omega) = H \cup H^c = \Omega[/texx], por lo que [texx]\Omega \in \mathcal{I}[/texx].

2. Aquí ya estoy descarrilando. He supuesto que tengo un [texx](H \cap E) \cup (H^c \cap F) \in \mathcal{I}[/texx] y estoy intentando probar que su complementario también está. Para ello considero [texx]((H \cap E) \cup (H^c \cap F))^c = (H \cap E)^c \cap (H^c \cap F)^c = E^c \cup F^c[/texx]

¿Puedo decir que, como [texx]E^c \cup F^c \in \mathcal{G}[/texx], entonces [texx]((H \cap E) \cup (H^c \cap F))^c \in \mathcal{I}[/texx]?

Para probar que la unión numerable de una sucesión de conjuntos está en la sigma-álgebra, no sé por dónde cogerlo, la verdad.

¿Me podéis ayudar? Muchas gracias.
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 44.105


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 12/02/2019, 05:23:55 am »

Hola

Me he quedado atascado con un ejercicio, que no creo que sea demasiado difícil pero no termino de ver qué es lo que tengo que probar. El enunciado es así:

Sean [texx]\mathcal{G} \subset \mathcal{P}(\Omega)[/texx] una [texx]\sigma[/texx]-álgebra y sea [texx]H \subset \Omega[/texx]. Se definen las familias de subconjuntos [texx]\mathcal{A}=\{ H \} \cup \mathcal{G}[/texx] e [texx]\mathcal{I} = \{ (H \cap E) \cup (H^c \cap F) : E, F \in \mathcal{G} \}[/texx]. Demostrar que [texx]\mathcal{I} = \sigma(\mathcal{A})[/texx], es decir, la [texx]\sigma[/texx]-álgebra engendrada por el conjunto [texx]\mathcal{A}[/texx].

Mi problema es que no sé exactamente qué elementos son los que hay en el conjunto [texx]\mathcal{I}[/texx]. De todos modos, supongo que son las uniones de intersecciones de elementos de la sigma-álgebra con el conjunto [texx]H[/texx].

1. Para probar que el espacio muestral está contenido en [texx]\mathcal{I}[/texx] he tomado [texx]E=F=\Omega[/texx] y así me queda

[texx](H \cap \Omega) \cup (H^c \cap \Omega) = H \cup H^c = \Omega[/texx], por lo que [texx]\Omega \in \mathcal{I}[/texx].

Bien.

Cita
2. Aquí ya estoy descarrilando. He supuesto que tengo un [texx](H \cap E) \cup (H^c \cap F) \in \mathcal{I}[/texx] y estoy intentando probar que su complementario también está. Para ello considero [texx]((H \cap E) \cup (H^c \cap F))^c = (H \cap E)^c \cap (H^c \cap F)^c \color{red}= E^c \cup F^c\color{black}[/texx]

Esa igualdad está mal. En realidad:

[texx](H \cap E)^c \cap (H^c \cap F)^c=(H^c\cup E^c)\cap (H\cup F^c)=(H^c\cap H)\cup (H\cap F^c)\cup (E^c\cap H^c)\cup (E^c\cap F^c)=\\
=(H\cap F^c)\cup (E^c\cap H^c)\cup (E^c\cap F^c)=(H\cap F^c)\cup (E^c\cap H^c)[/texx]

En el último paso he tenido en cuenta que:

[texx]E^c\cap F^c=(H\cap (E^c\cap F^c))\cup (H^c\cap (E^c\cap F^c))\subset (H\cap F^c)\cup (E^c\cap H^c)[/texx]

Cita
Para probar que la unión numerable de una sucesión de conjuntos está en la sigma-álgebra, no sé por dónde cogerlo, la verdad.

Considera [texx]A_n=(H\cap E_n)\cup (H^c\cap F_n)[/texx] con [texx]E_n,F_n\in \mathcal{G}[/texx] y ten en cuenta que:

[texx]\bigcup A_n=(H\cap \bigcup E_n))\cup (H^c\cap \bigcup F_n))[/texx]

Saludos.
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!