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Autor Tema: Double summation  (Leído 98 veces)
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jacks
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« : 11/02/2019, 12:43:43 pm »

Calculation of [texx]\displaystyle \mathop{\sum\sum}_{0\leq i<j \leq n}\bigg(i\cdot \binom{n}{i}+j\cdot \binom{n}{j}\bigg)[/texx] and [texx]\displaystyle \mathop{\sum\sum}_{0\leq i <j \leq n}(i+j)\bigg(\binom{n}{i}- \binom{n}{j}\bigg)[/texx]
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 12/02/2019, 08:03:12 am »

Hi

Calculation of [texx]\displaystyle \mathop{\sum\sum}_{0\leq i<j \leq n}\bigg(i\cdot \binom{n}{i}+j\cdot \binom{n}{j}\bigg)[/texx] and [texx]\displaystyle \mathop{\sum\sum}_{0\leq i <j \leq n}(i+j)\bigg(\binom{n}{i}- \binom{n}{j}\bigg)[/texx]

Note that:

[texx]\displaystyle\sum_{k=0}^n{}k\displaystyle\binom{n}{k}=2^{n-1}n[/texx]

[texx]\displaystyle\sum_{k=0}^n{}k^2\displaystyle\binom{n}{k}=2^{n-2}n(n+1)[/texx]

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

 Then:

[texx]\displaystyle \mathop{\sum\sum}_{0\leq i<j \leq n}i\cdot \binom{n}{i}=\displaystyle \mathop{\sum\sum}_{0\leq i\leq n}i(n-i)\binom{n}{i}[/texx]

[texx]\displaystyle \mathop{\sum\sum}_{0\leq i<j \leq n}j\cdot \binom{n}{j}=\displaystyle \mathop{\sum}_{0\leq j\leq n}j^2\binom{n}{j}=\displaystyle \mathop{\sum}_{0\leq i\leq n}i^2\binom{n}{i}[/texx]

So:

[texx]\displaystyle \mathop{\sum\sum}_{0\leq i<j \leq n}\bigg(i\cdot \binom{n}{i}+j\cdot \binom{n}{j}\bigg)=n\displaystyle \mathop{\sum}_{0\leq i\leq n}i\binom{n}{i}=2^{n-1}\cdot n^2[/texx]

In a similar way check that:

[texx]\displaystyle \mathop{\sum\sum}_{0\leq i <j \leq n}(i+j)\bigg(\binom{n}{i}- \binom{n}{j}\bigg)=\ldots=\mathop{\sum}_{0\leq i\leq n}\dfrac{1}{2}(n^2+2in+n-6i^2)\binom{n}{i}=\ldots=n(n-1)2^{n-2}[/texx]

Best regards.
 

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« Respuesta #2 : 16/02/2019, 07:29:52 am »

Thanks Admin Got it.
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