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Autor Tema: Hallar "k" para que la ecuación tenga tres soluciones distintas  (Leído 1167 veces)
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FabricioEF
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« : 11/02/2019, 02:26:08 am »

Hola, les presento el siguiente problema:

Sea [texx]f(x)=x-3\,\sqrt[ ]{(x-5)^3}[/texx]. Hallar todos los valores de [texx]k[/texx] tales que la ecuación dada por [texx]f(x)=k[/texx] tiene 3 soluciones distintas.

Yo lo que hice en un primer momento fue sacarme de encima la raíz, y mediante despejes, escribir una ecuación polinómica equivalente, como la siguiente:

[texx]f(x)=k\:\:\Rightarrow\:\:x-3\,\sqrt[ ]{(x-5)^3}=k\:\:\Rightarrow\:\:\frac{1}{27}\,(x-k)^3-(x-5)^2=0[/texx]

de donde se puede visualizar fácilmente que si tomo [texx]k=5[/texx], entonces habrá solo dos soluciones distintas, y una tercera que es repetida. Pero no sé si el problema se termina acá, o si puede haber más valores. Porque me da la sensación de que este camino no me dice todos los valores posibles, por más que [texx]k=5[/texx] termine siendo tal vez el único valor. Necesitaría confirmar esto, o de última pensar si existe algún otro truquito algebraico que me dé algo más de información.

Saludos y gracias.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 11/02/2019, 06:32:29 am »

Hola

Hola, les presento el siguiente problema:

Sea [texx]f(x)=x-3\,\sqrt[ ]{(x-5)^3}[/texx]. Hallar todos los valores de [texx]k[/texx] tales que la ecuación dada por [texx]f(x)=k[/texx] tiene 3 soluciones distintas.

Antes de nada revisa con cuidado si el enunciado es exactamente así. Tal como está NUNCA tiene tres soluciones distintas. Y además tampoco me cuadra el enunciado con las cuentas que has hecho.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Fíjate que tal como está la función [texx]f(x)[/texx] sólo está definida para [texx]x\geq 5[/texx], ya que si [texx]x<5[/texx], tendrías que [texx](x-5)^3<0[/texx] y no existe la raíz cuadrada de un número negativo.

Ahora la función [texx]g(x)=f(x)-k[/texx] es derivable en [texx](5,+\infty)[/texx]. Si tiene tres soluciones distintas, por el Teorema de Rolle, la derivada debe de anularse al menos en dos puntos distintos; pero:

[texx]g'(x)=f'(x)=1-\dfrac{9}{2}{\sqrt{x-5}}[/texx]

sólo se anula en un punto.

Saludos.
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FabricioEF
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« Respuesta #2 : 11/02/2019, 05:29:49 pm »

Uhhh, perdón. Es que había copiado mal el enunciado :BangHead:. El enunciado textual del problema es el siguiente:

Sea [texx]f(x)=x-3\,\sqrt[3]{(x-5)^2}[/texx]. Hallar los valores de [texx]k\in{}\mathbb{R}[/texx] tales que [texx]f(x)=k[/texx] tiene tres soluciones.

Entonces, de ese modo, cuando paso a la ecuación polinómica me queda:

[texx]x^3-3\,(k+3)\,x^2+3\,(k^2+90)\,x-(k^3+675)=0[/texx]

Entonces, ahora sí. A esta ecuación le pido que cruce el eje [texx]x[/texx] tres veces, con lo cual, según el Teorema de Rolle, su derivada debe cambiar de signo dos veces. Esto es pedir que la derivada de este polinomio de grado [texx]3[/texx] sea una función cuadrática, con discriminante positivo. Esto es:

[texx]f'(x)=x^2-2\,(k+3)\,x+(k^2+90)=0\,\,\,\Rightarrow{}\,\,\,x=(k+3)\pm{}\sqrt[ ]{(k+3)^2-(k^2+90)}[/texx]

Entonces pido que lo de adentro de la raíz sea mayor que cero y obtengo:

[texx](k+3)^2>k^2+90\,\,\,\Rightarrow{}\,\,\,k^2+6k+9>k^2+90\,\,\,\Rightarrow{}\,\,\,2k+3>30\,\,\,\Rightarrow{}\,\,\,k>\frac{27}{2}[/texx]

No se si está bien así.

Saludos.
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alucard
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« Respuesta #3 : 12/02/2019, 12:13:28 am »

Uhhh, perdón. Es que había copiado mal el enunciado :BangHead:. El enunciado textual del problema es el siguiente:

Sea [texx]f(x)=\color{\red}(x-3) \color{black}\sqrt[3]{(x-5)^2}[/texx]. Hallar los valores de [texx]k\in{}\mathbb{R}[/texx] tales que [texx]f(x)=k[/texx] tiene tres soluciones.

¿no falta un paréntesis ahí?

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Un camino de 1000 km se empieza a recorrer cuando se da el primer paso
FabricioEF
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« Respuesta #4 : 12/02/2019, 12:15:12 am »

No, no. Es sin el paréntesis. A [texx]x[/texx] se le resta tres veces la raíz cúbica.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #5 : 12/02/2019, 04:34:16 am »

Hola

Uhhh, perdón. Es que había copiado mal el enunciado :BangHead:. El enunciado textual del problema es el siguiente:

Sea [texx]f(x)=x-3\,\sqrt[3]{(x-5)^2}[/texx]. Hallar los valores de [texx]k\in{}\mathbb{R}[/texx] tales que [texx]f(x)=k[/texx] tiene tres soluciones.

Entonces, de ese modo, cuando paso a la ecuación polinómica me queda:

[texx]x^3-3\,(k+3)\,x^2+3\,(k^2+90)\,x-(k^3+675)=0[/texx]

No está bien. Es:

[texx]g(x)=x^3-3\,(k+\color{red}9\color{black})\,x^2+3\,(k^2+90)\,x-(k^3+675)[/texx]

Entonces las dos raíces de la derivada [texx]g'(x)[/texx] son:

[texx]9+k\pm 3\sqrt{-1+2k}[/texx]

Para que tal derivada tenga dos raíces tiene que cumplirse que [texx]-1+2k>0[/texx] es decir que [texx]k>1/2[/texx].  Pero OJO, eso no garantiza que la ecuación inicial tenga tres raíces distintas; es una condición necesaria pero no suficiente.

Dado que [texx]g(x)[/texx] es un polinomio de grado tres con coeficiente principal positivo, [texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}g(x)=+\infty[/texx], [texx]\displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{}g(x)=-\infty [/texx]. Siempre tiene una raíz y para que tenga tres el mínimo relativo que se encuentra en la segunda raíz de la derivada tiene que ser negativo.

Esto te va a dar un poco la lata a efectos de cuentas.

Así que te propongo una alternativa.

Si tomas la función:

[texx]f(x)=x-3\sqrt[3]{(x-5)^2}[/texx]

Puedes ver que es continua en todo [texx]\mathbb{R}[/texx] y derivable excepto en [texx]x=5[/texx].

De ahí analizando su derivada y los límites en más y menos infinitos se deduce que la función es creciente en [texx](-\infty,5)[/texx], decreciente en [texx](5,13)[/texx] y creciente en [texx](13,+\infty)[/texx]; por tanto tiene un máximo relativo en [texx]x=5[/texx] y un mínimo relativo en [texx]x=13[/texx]. Ade,ás [texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}f(x)=+\infty[/texx], [texx]\displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{}f(x)=-\infty [/texx].

Entonces para que [texx]f(x)=k[/texx] tenga tres raíces distintas, [texx]k[/texx] tiene que estar comprendido entre el mínimo y el máximo, es decir:

[texx]k\in (f(13),f(5))=(1,5)[/texx]

Saludos.
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FabricioEF
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« Respuesta #6 : 12/02/2019, 04:55:11 pm »

Ahh, genial. Entonces, el método se podría haber reducido al de hacer un análisis exhaustivo de la función [texx]f(x)[/texx], intentar hacer un gráfico lo más representativo posible, y ver cuántas rectas paralelas al eje [texx]x[/texx] cortan [texx]3[/texx] veces a dicha gráfica. Bueno, genial. Ahora sí me quedó claro.

Saludos.
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