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Autor Tema: Límite superior e inferior para ceros reales.  (Leído 590 veces)
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moliere
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« : 10/02/2019, 10:35:58 pm »

Me piden que demuestre el teorema de los límites para ceros reales de el polinomio [texx]P(x)[/texx] de grado [texx]n>0[/texx] y  con el coeficiente del término principal mayor que cero, dando la justificación para los pasos que me dan:
Aquí está el teorema a demostrar:
a) Límite superior: un número [texx]r>0[/texx] es un límite superior para los ceros reales de [texx]P(x)[/texx] si, cuando [texx]P(x)[/texx] se divide entre [texx]x-r[/texx] por división sintética, todos los números en la fila del cociente, incluido el residuo, son no negativos.
b) Límite inferior: un número [texx]r<0[/texx] es un límite inferior para los ceros reales de [texx]P(x)[/texx] si, cuando [texx]P(x)[/texx] se divide entre [texx]x-r[/texx] por división sintética, todos los números en la fila del cociente, incluido el residuo, tienen signos alternos.
Los pasos que debo justificar:
1) Da una razón para cada paso en la prueba del caso de límite superior.
Paso 1: [texx]P(x)[/texx] puede escribirse en la forma [texx]P(x)=(x-r)Q(x)+R[/texx], donde los coeficientes de [texx]Q(x)[/texx] y [texx]R[/texx] son positivos.
La justificación sería que puede escribirse de esta manera por el algoritmo de la división.
Paso 2: Supón que [texx]s>r>0[/texx]. Entonces [texx]P(s)>0[/texx].
La justificación sería que al ser todos los coeficicuentes más el residuo todos positivos al evaluar [texx]P(s)[/texx] el resultado sería mayor a cero.
Paso 3: [texx]r[/texx] es un límite superior para los ceros reales de [texx]P(x)[/texx].
La justificación sería que la gráfica queda siempre por encima del [texx]eje x[/texx], es decir, ya no vuelve a cortar al [texx]eje x[/texx] y por eso es un límite superior.

2) Da una razón para cada paso en la prueba del caso del límite inferior.
Paso 1: [texx]P(x)[/texx] puede escribirse en la forma [texx]P(x)=(x-r)Q(x)+R[/texx], donde los coeficientes de [texx]Q(x)[/texx] y [texx]R[/texx] alternan de signos.
Justificación algoritmo de la división.
Paso 2: Supón que [texx]s<r<0[/texx]. Si  [texx]P[/texx] tiene grado par, entonces [texx]P(s)>0[/texx];  si [texx]P[/texx] tiene grado impar entonces [texx]P(s)<0[/texx].
Creo entender este paso si el signo de [texx]R[/texx] es positivo para [texx]n[/texx] par, ya que la gráfica de [texx]P(x)[/texx] crece sin límite cuando [texx]x\rightarrow{-\infty}[/texx] y por tanto ya no habrán más interceptos en [texx]x[/texx]. Para [texx]n[/texx] impar cuando  [texx]R[/texx] es negativo  pasa similar la gráfica de [texx]P(x)[/texx] decrece infinitamente cuando [texx]x\rightarrow{-\infty}[/texx] y por tanto ya no habrán interceptos en [texx]x[/texx] pero no lo entiendo cuando [texx]R[/texx] es positivo.
Paso 3: [texx]r[/texx] es un límite inferior para los ceros reales de [texx]P(x)[/texx].
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 11/02/2019, 06:55:03 am »

Hola

Me piden que demuestre el teorema de los límites para ceros reales de el polinomio [texx]P(x)[/texx] de grado [texx]n>0[/texx] y  con el coeficiente del término principal mayor que cero, dando la justificación para los pasos que me dan:
1) Da una razón para cada paso en la prueba del caso de límite superior.
Paso 1: [texx]P(x)[/texx] puede escribirse en la forma [texx]P(x)=(x-r)Q(x)+R[/texx], donde los coeficientes de [texx]Q(x)[/texx] y [texx]R[/texx] son positivos.
La justificación sería que puede escribirse de esta manera por el algoritmo de la división.

Pero tienes que justificar porque todos los coeficientes de [texx]Q(x)[/texx] son positivos y por que [texx]R[/texx] es positivo.

Es necesario en ese sentido que escribas exactamente que hipótesis tienes sobre el polinomio [texx]P(x)[/texx] y el enunciado exacto de ese teorema de límite superior de raíces que quieres probar.

Saludos.
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« Respuesta #2 : 13/02/2019, 04:06:38 pm »

Teorema.
Sea [texx]P(x)[/texx] un polinomio de grado [texx]n>0[/texx] con coeficientes reales,  [texx]a_n>0[/texx]:
1) Límite superior: un número [texx]r>0[/texx] es un límite superior para los ceros reales de [texx]P(x)[/texx] si, cuando [texx]P(x)[/texx]  se divide entre [texx]x-r[/texx] por división sintética, todos los números en la fila del cociente, incluido el residuo, son no negativos.
2) Límite inferior: un número [texx]r <0[/texx] es un límite inferior para los ceros reales de [texx]P(x)[/texx] si, cuando [texx]P(x)[/texx] se divide entre [texx]x-r[/texx] por división sintética,  los números en la fila del cociente, incluido el residuo, tienen signos alternos.

1) Da una razón para cada paso en la prueba del caso de límite superior.
Paso 1: [texx]P(x)[/texx] puede escribirse en la forma [texx]P (x)=(x-r)Q(x)+R[/texx] donde los coeficientes de [texx]Q (x)[/texx] y [texx]R[/texx] son positivos.
La justificación sería que puede escribirse de esta manera por el algoritmo de la división.
Paso 2: Supón que [texx]s>r>0[/texx]. Entonces [texx]P (s)>0[/texx].
La justificación sería que al ser todos los coeficicuentes más el residuo todos positivos al evaluar P(s) el resultado sería mayor a cero.
Paso 3: [texx]r[/texx] es un límite superior para los ceros reales de P(x).
La justificación sería que la gráfica queda siempre por encima del ejex, es decir, ya no vuelve a cortar al ejex y por eso es un límite superior.

2) Da una razón para cada paso en la prueba del caso del límite inferior.
Paso 1: [texx]P (x)[/texx] puede escribirse en la forma [texx]P (x)=(x-r)Q (x)+R[/texx] donde los coeficientes de [texx]Q (x)[/texx] y [texx]R[/texx] alternan el signo.
Justificación algoritmo de la división.
Paso 2: Supón que [texx]s <r <0[/texx]. Si  [texx]P[/texx] tiene grado par, entonces [texx]P (s)>0[/texx];  si [texx]P[/texx] tiene grado impar entonces [texx]P (s)<0[/texx].
No sé qué justificación dar.
Paso 3: [texx]r[/texx] es un límite inferior para los ceros reales de [texx]P (x)[/texx].
No sé qué justificación dar.
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« Respuesta #3 : 14/02/2019, 08:09:48 am »

Hola

 Has mofidicado el enunciado inicial sin indicarlo. Además has abierto un nuevo hilo con la misma pregunta; lo he unido a esto.

 En lo sucesivo cuando modifiques un mensaje de un hilo días después resáltalo en rojo; y no abras nuevos hilos repitiendo lo que ya has escrito en otros.

Teorema.
Sea [texx]P(x)[/texx] un polinomio de grado [texx]n>0[/texx] con coeficientes reales,  [texx]a_n>0[/texx]:
1) Límite superior: un número [texx]r>0[/texx] es un límite superior para los ceros reales de [texx]P(x)[/texx] si, cuando [texx]P(x)[/texx]  se divide entre [texx]x-r[/texx] por división sintética, todos los números en la fila del cociente, incluido el residuo, son no negativos.
2) Límite inferior: un número [texx]r <0[/texx] es un límite inferior para los ceros reales de [texx]P(x)[/texx] si, cuando [texx]P(x)[/texx] se divide entre [texx]x-r[/texx] por división sintética,  los números en la fila del cociente, incluido el residuo, tienen signos alternos.

1) Da una razón para cada paso en la prueba del caso de límite superior.
Paso 1: [texx]P(x)[/texx] puede escribirse en la forma [texx]P (x)=(x-r)Q(x)+R[/texx] donde los coeficientes de [texx]Q (x)[/texx] y [texx]R[/texx] son positivos.
La justificación sería que puede escribirse de esta manera por el algoritmo de la división.

 Si; es decir, por hipótesis sabemos que [texx]Q(x)[/texx] tiene coeficientes positivos [texx]R[/texx] también es positivo y por el algoritmo de la división que [texx]P(x)=(x-r)Q(x)+R[/texx].

Cita
Paso 2: Supón que [texx]s>r>0[/texx]. Entonces [texx]P (s)>0[/texx].
La justificación sería que al ser todos los coeficicuentes más el residuo todos positivos al evaluar P(s) el resultado sería mayor a cero.

Si:

[texx]P(s)=(s-r)Q(s)+R[/texx]

donde [texx]s-r>0[/texx], [texx]Q(s)>0[/texx] por tener [texx]Q[/texx] todos los coeficientes positivos y [texx]R>0[/texx].

Lo mismo funciona si [texx]s=r.[/texx]

Cita
Paso 3: [texx]r[/texx] es un límite superior para los ceros reales de P(x).
La justificación sería que la gráfica queda siempre por encima del ejex, es decir, ya no vuelve a cortar al ejex y por eso es un límite superior.

Si: de manera precisa por lo razonado anteriormente si [texx]s\geq r[/texx], [texx]P(s)>0[/texx] luego [texx]s[/texx] NO es un cero. Es decir cualquier posible cero [texx]s[/texx] ha de cumplir [texx]s<r[/texx]

Cita
2) Da una razón para cada paso en la prueba del caso del límite inferior.
Paso 1: [texx]P (x)[/texx] puede escribirse en la forma [texx]P (x)=(x-r)Q (x)+R[/texx] donde los coeficientes de [texx]Q (x)[/texx] y [texx]R[/texx] alternan el signo.
Justificación algoritmo de la división.

Si, análogo al (1).

Cita
Paso 2: Supón que [texx]s <r <0[/texx]. Si  [texx]P[/texx] tiene grado par, entonces [texx]P (s)>0[/texx];  si [texx]P[/texx] tiene grado impar entonces [texx]P (s)<0[/texx].
No sé qué justificación dar.

Fíjate que [texx]s<r<0[/texx]. Entonces [texx]s-r<0[/texx].

Además dado que el coeficiente principal de [texx]P(x)[/texx] es positivo y [texx]P(x)=(x-r)Q(x)+R[/texx], entonces el coeficiente principal de [texx]Q(x)[/texx] también es positivo. A partir de ahí los coeficientes van cambiando alternativamente de signo por hipótesis. Entonces:

- Si [texx]P(x)[/texx] tiene grado par:

[texx]Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}-b_{n-2}x^{n-2}+\ldots+b_1x-b_0[/texx] con [texx]b_i\geq 0[/texx] y por hipótesis el resto es positivo.

 En [texx]s[/texx] entonces:

[texx]Q(s)=b_{n-1}s^{n-1}-b_{n-2}s^{n-2}+\ldots+b_1s-b_0[/texx]

 y como [texx]s<0[/texx] y [texx]n[/texx] es par todos esos sumandos son negativos.

 Entonces:

[texx]P(s)=\underbrace{(s-r)}_{<0}\underbrace{Q(s)}_{<0}+R>0[/texx]

- Si [texx]P(x)[/texx] tiene grado impar haz un razonamiento análogo y ahora comprueba que da positivo.

Cita
Paso 3: [texx]r[/texx] es un límite inferior para los ceros reales de [texx]P (x)[/texx].
No sé qué justificación da
r.
 
 Si [texx]s\leq r[/texx] por lo visto en el paso anterior [texx]P(s)>0[/texx] ó [texx]P(s)<0[/texx], luego [texx]s[/texx] no puede ser una raíz. Por tanto si [texx]s[/texx] es una raíz [texx]s>r.[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #4 : 15/02/2019, 10:12:10 pm »

Muchas gracias,  Luis Fuentes. Seguiré tu consejo.
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