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Autor Tema: Extremos (duda)  (Leído 505 veces)
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alucard
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« : 08/02/2019, 07:16:14 pm »

Hola tengo el siguiente ejercicio

Sea [texx]f:R^2\to R/f(x,y)= 2x^3+2y^3-3x^2-3y^2+11[/texx] analizar la existencia de extremos en

[texx]R=\left\{(x,y)\in R^2/x^2+y^2\leq{4}\right\}[/texx]

El problema lo tengo al analizar

[texx]f:R^2\to R/f(x,y)= 2x^3+2y^3-3x^2-3y^2+11\quad con \quad x^2+y^2=4[/texx]

Si defino [texx]g(t)=(2\cos t,2\sen t)\quad t\in[0,2\pi)[/texx]

¿se debe tomar los extremos del intervalo, o alcanza con tomar el interior del mismo?

Continuo con el ejercicio y defino

[texx] h(t)=f(g(t))=16(\cos^3t+\sen^3t)-1[/texx]

derivando y efectuando los pasos matemáticos necesarios obtengo

[texx] h'(t)=\cos t\cdot\sen t(-3cos t+3\sen t)[/texx]

de donde

[texx] h'(t)=0 \to t=0,t=\pi,t=\dfrac{\pi}{2},t=\dfrac{3\pi}{2},t=\dfrac{\pi}{4},t=\dfrac{5\pi}{4}[/texx]

De donde claramente puedo observar que obtengo 6 puntos sobre la frontera de R, pero si utilizo lagrange defino

[texx]\lambda=\dfrac{f'x}{g'x}=\dfrac{f'y}{g'y}\quad g(x,y)=x^2+y^2-4[/texx]

obtengo

[texx]\dfrac{6x^2-6x}{2x}=\dfrac{6y^2-6y}{2y}\to y=x[/texx]

cuando utilizo

[texx]x^2+y^2=4\\y=x[/texx]

solo me quedan dos puntos  :¿eh?:

¿Qué estoy haciendo mal?
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Un camino de 1000 km se empieza a recorrer cuando se da el primer paso
Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 11/02/2019, 06:06:30 am »

Hola

Hola tengo el siguiente ejercicio

Sea [texx]f:R^2\to R/f(x,y)= 2x^3+2y^3-3x^2-3y^2+11[/texx] analizar la existencia de extremos en

[texx]R=\left\{(x,y)\in R^2/x^2+y^2\leq{4}\right\}[/texx]

El problema lo tengo al analizar

[texx]f:R^2\to R/f(x,y)= 2x^3+2y^3-3x^2-3y^2+11\quad con \quad x^2+y^2=4[/texx]

Si defino [texx]g(t)=(2\cos t,2\sen t)\quad t\in[0,2\pi)[/texx]

¿se debe tomar los extremos del intervalo, o alcanza con tomar el interior del mismo?

Los extremos (al menos unos de los dos) también has de tomarlo en cuenta. [texx]t=0[/texx] puede ser un punto crítico (de hecho lo es).

Cita
De donde claramente puedo observar que obtengo 6 puntos sobre la frontera de R, pero si utilizo lagrange defino

[texx]\color{red}\lambda=\dfrac{f'x}{g'x}=\dfrac{f'y}{g'y}\color{black}\quad g(x,y)=x^2+y^2-4[/texx]

obtengo

[texx]\dfrac{6x^2-6x}{2x}=\dfrac{6y^2-6y}{2y}\to y=x[/texx]

cuando utilizo

[texx]x^2+y^2=4\\y=x[/texx]

solo me quedan dos puntos  :¿eh?:

Esa versión de Lagrange con [texx]\lambda[/texx] ya despejado es "peligrosa"; sólo puedes despejar si los denominadores [texx](g'_x,g'_y)[/texx]  son no nulos y de ahí nace tu error.

Es decir yo usaría:

[texx]f'_x-\lambda g'_x=0[/texx]
[texx]f'_y-\lambda g'_y=0[/texx]

Que en tu caso equivale a:

[texx]6x^2-6x-2x\lambda=0[/texx]
[texx]6y^2-6y-2y\lambda=0[/texx]

Si [texx]x,y\neq 0 [/texx]puedes despejar [texx]\lambda[/texx] en ambas ecuaciones y proceder como hiciste, obteniendo los dos puntos críticos sobre la recta [texx]x=y[/texx] intersecada con la circunferencia [texx]x^2+y^2=4.[/texx]

Si [texx]x=0[/texx], las ecuaciones quedan:

[texx]6y^2-6y-2y\lambda=0[/texx]
[texx]y^4=4[/texx].

De donde obtienes dos puntos críticos más [texx](0,\pm 2).[/texx]

Análogamente si [texx]y=0[/texx] obtienes los puntos [texx](\pm 2,0)[/texx].

Saludos.
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« Respuesta #2 : 11/02/2019, 11:44:01 pm »

Hola

Hola

Hola tengo el siguiente ejercicio

Sea [texx]f:R^2\to R/f(x,y)= 2x^3+2y^3-3x^2-3y^2+11[/texx] analizar la existencia de extremos en

[texx]R=\left\{(x,y)\in R^2/x^2+y^2\leq{4}\right\}[/texx]

El problema lo tengo al analizar

[texx]f:R^2\to R/f(x,y)= 2x^3+2y^3-3x^2-3y^2+11\quad con \quad x^2+y^2=4[/texx]

Si defino [texx]g(t)=(2\cos t,2\sen t)\quad t\in[0,2\pi)[/texx]

¿se debe tomar los extremos del intervalo, o alcanza con tomar el interior del mismo?

Los extremos (al menos unos de los dos) también has de tomarlo en cuenta. [texx]t=0[/texx] puede ser un punto crítico (de hecho lo es).

Entiendo , ¿y si tomo los dos estaría mal? ¿si fuese otra la curva , como te das cuenta que en que cota se produce extremo?

Cita
Cita
De donde claramente puedo observar que obtengo 6 puntos sobre la frontera de R, pero si utilizo lagrange defino

[texx]\color{red}\lambda=\dfrac{f'x}{g'x}=\dfrac{f'y}{g'y}\color{black}\quad g(x,y)=x^2+y^2-4[/texx]

obtengo

[texx]\dfrac{6x^2-6x}{2x}=\dfrac{6y^2-6y}{2y}\to y=x[/texx]

cuando utilizo

[texx]x^2+y^2=4\\y=x[/texx]

solo me quedan dos puntos  :¿eh?:

Esa versión de Lagrange con [texx]\lambda[/texx] ya despejado es "peligrosa"; sólo puedes despejar si los denominadores [texx](g'_x,g'_y)[/texx]  son no nulos y de ahí nace tu error.

Es decir yo usaría:

[texx]f'_x-\lambda g'_x=0[/texx]
[texx]f'_y-\lambda g'_y=0[/texx]

Que en tu caso equivale a:

[texx]6x^2-6x-2x\lambda=0[/texx]
[texx]6y^2-6y-2y\lambda=0[/texx]

Si [texx]x,y\neq 0 [/texx]puedes despejar [texx]\lambda[/texx] en ambas ecuaciones y proceder como hiciste, obteniendo los dos puntos críticos sobre la recta [texx]x=y[/texx] intersecada con la circunferencia [texx]x^2+y^2=4.[/texx]

Si [texx]x=0[/texx], las ecuaciones quedan:

[texx]6y^2-6y-2y\lambda=0[/texx]
[texx]y^4=4[/texx].

De donde obtienes dos puntos críticos más [texx](0,\pm 2).[/texx]

Análogamente si [texx]y=0[/texx] obtienes los puntos [texx](\pm 2,0)[/texx].

Saludos.

Me parecía que venía por ahí el problema , gracias por aclararme la duda , tendré mas cuidado al usar esa forma de Lagrange , gracias 
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« Respuesta #3 : 12/02/2019, 04:13:39 am »

Hola

Entiendo , ¿y si tomo los dos estaría mal? ¿si fuese otra la curva , como te das cuenta que en que cota se produce extremo?

No; pero simplemente tienes que tener en cuenta que los valores de [texx]t=0[/texx] y [texx]t=2\pi[/texx] se refieren al mismo punto de la curva.

Lo que digo es que los extremos del intervalo son candidatos a puntos críticos, pero no necesariamente extremos. Hay que comprobarlo.

Saludos.
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