Problema de geometría vectorial

[drake_m]

Hola que tal, tengo otro problema de geometría vectorial, que no he podido terminar. Es el siguiente:

Demostrar que en todo paralelogramo, el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto, trisecta a la diagonal que une los vértices adyacentes al primero, y además ese segmento es trisectado por la diagonal.

Esto es lo que he podido hacer:

Definí el paralelogramo [texx]ABCD[/texx], la diagonal [texx]AC[/texx] y [texx]M[/texx] el punto medio de [texx]AB[/texx]. Sabiendo que [texx]M[/texx] es el punto medio, encontré que [texx]\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{m}-\overrightarrow{a}[/texx]. Como [texx]ABCD[/texx] es paralelogramo, entonces [texx]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}[/texx] y [texx]\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}[/texx] Juntando estas condiciones llegué a que:
[texx]\displaystyle\cfrac{\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{c}}{3}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{m}+2\overrightarrow{d}}{3}[/texx].

Sólo me falta probar que el vector de posición del punto de intersección entre la diagonal y el segmento, [texx]P[/texx], coincide con los vectores anteriores, y es ahí donde estoy estancado. Si logro probar que [texx]\overrightarrow{p}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{c}}{3}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{m}+2\overrightarrow{d}}{3}[/texx], entonces recién podría concluir que [texx]\displaystyle\frac{\overline{AP}}{\overline{PC}}=\displaystyle\frac{\overline{MP}}{\overline{PD}}=\displaystyle\frac{1}{2}[/texx]

[Luis Fuentes]

Hola

Hola que tal, tengo otro problema de geometría vectorial, que no he podido terminar. Es el siguiente:

Demostrar que en todo paralelogramo, el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto, trisecta a la diagonal que une los vértices adyacentes al primero, y además ese segmento es trisectado por la diagonal.

Esto es lo que he podido hacer:

Definí el paralelogramo [texx]ABCD[/texx], la diagonal [texx]AC[/texx] y [texx]M[/texx] el punto medio de [texx]AB[/texx]. Sabiendo que [texx]M[/texx] es el punto medio, encontré que [texx]\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{m}-\overrightarrow{a}[/texx]. Como [texx]ABCD[/texx] es paralelogramo, entonces [texx]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}[/texx] y [texx]\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}[/texx] Juntando estas condiciones llegué a que:
[texx]\displaystyle\cfrac{\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{c}}{3}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{m}+2\overrightarrow{d}}{3}[/texx].

¿Seguro? Debería de ser:

[texx]\displaystyle\cfrac{2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}}{3}=\displaystyle\frac{2\overrightarrow{m}+\overrightarrow{d}}{3}[/texx]

Ahora ten en cuenta que en general si tienes dos puntos [texx]X,Y[/texx] cuyas coordenadas están determinadas por los vectores [texx]\vec x,\vec y[/texx] cualquier expresión de la forma [texx](1-t)\vec x+t\vec y[/texx] corresponde a un punto del segmento que une [texx]XY[/texx] ya que:

[texx](1-x)\vec x+t\vec y=\vec x+t(\vec y-\vec x)=\vec x+t(\vec{XY})[/texx]

Por tanto:

[texx]\displaystyle\cfrac{2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}}{3}=\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\vec a+\dfrac{1}{3}\vec c[/texx] pertence al segmento [texx]AC[/texx]

[texx]\displaystyle\cfrac{2\overrightarrow{m}+\overrightarrow{d}}{3}=\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\vec m+\dfrac{1}{3}\vec d[/texx] pertence al segmento [texx]md[/texx]

Saludos.

[drake_m]

¿Seguro? Debería de ser:

[texx]\displaystyle\cfrac{2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}}{3}=\displaystyle\frac{2\overrightarrow{m}+\overrightarrow{d}}{3}[/texx]

Ahora ten en cuenta que en general si tienes dos puntos [texx]X,Y[/texx] cuyas coordenadas están determinadas por los vectores [texx]\vec x,\vec y[/texx] cualquier expresión de la forma [texx](1-t)\vec x+t\vec y[/texx] corresponde a un punto del segmento que une [texx]XY[/texx] ya que:

[texx](1-x)\vec x+t\vec y=\vec x+t(\vec y-\vec x)=\vec x+t(\vec{XY})[/texx]

Por tanto:

[texx]\displaystyle\cfrac{2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}}{3}=\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\vec a+\dfrac{1}{3}\vec c[/texx] pertence al segmento [texx]AC[/texx]

[texx]\displaystyle\cfrac{2\overrightarrow{m}+\overrightarrow{d}}{3}=\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\vec m+\dfrac{1}{3}\vec d[/texx] pertence al segmento [texx]md[/texx]

Saludos.

Sí, lo había escrito al revés xD. Entiendo lo que me explicas, el problema es que en los ejercicios que estoy haciendo, los estoy intentando hacer sólo con materia anterior al ejercicio, y la ecuación [texx]\overrightarrow{x}+t\overrightarrow{XY}[/texx] está más adelante en la materia, razón por la que no podría usarla. Porque yo también había intentando hacerla así, pero no podía usar rectas. Es como cuando en cálculo enseñan límites, pero derivadas aún no, entonces no sería posible usar L'Hopital para calcular límites. Por eso estoy estancado.

[Luis Fuentes]

Hola

Sí, lo había escrito al revés xD. Entiendo lo que me explicas, el problema es que en los ejercicios que estoy haciendo, los estoy intentando hacer sólo con materia anterior al ejercicio, y la ecuación [texx]\overrightarrow{x}+t\overrightarrow{XY}[/texx] está más adelante en la materia, razón por la que no podría usarla.

Pero simplemente se trata de usar que [texx]\overrightarrow{x}+t\overrightarrow{XY}[/texx]  es un punto el el segmento que une [texx]X[/texx] e [texx]Y[/texx]. En cierto modo eso es evidente, porque precisamente puede entenderse como la definición de ese concepto, de "punto comprendido entre dos dados". En todo caso tu dime como defines exactamente "punto en el segmento que une dos dados" y verás como es inmediato probar que un punto de esa forma cumple esa definición.

Saludos.