Hola que tal, tengo otro problema de geometría vectorial, que no he podido terminar. Es el siguiente:
Demostrar que en todo paralelogramo, el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto, trisecta a la diagonal que une los vértices adyacentes al primero, y además ese segmento es trisectado por la diagonal.
Esto es lo que he podido hacer:
Definí el paralelogramo [texx]ABCD[/texx], la diagonal [texx]AC[/texx] y [texx]M[/texx] el punto medio de [texx]AB[/texx]. Sabiendo que [texx]M[/texx] es el punto medio, encontré que [texx]\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{m}-\overrightarrow{a}[/texx]. Como [texx]ABCD[/texx] es paralelogramo, entonces [texx]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}[/texx] y [texx]\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}[/texx] Juntando estas condiciones llegué a que:
[texx]\displaystyle\cfrac{\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{c}}{3}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{m}+2\overrightarrow{d}}{3}[/texx].
Sólo me falta probar que el vector de posición del punto de intersección entre la diagonal y el segmento, [texx]P[/texx], coincide con los vectores anteriores, y es ahí donde estoy estancado. Si logro probar que [texx]\overrightarrow{p}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{c}}{3}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{m}+2\overrightarrow{d}}{3}[/texx], entonces recién podría concluir que [texx]\displaystyle\frac{\overline{AP}}{\overline{PC}}=\displaystyle\frac{\overline{MP}}{\overline{PD}}=\displaystyle\frac{1}{2}[/texx]
