No veo que [texx]\bigcup_{k \geq n} A_k = (1/n, 1-1/(n+1))[/texx] cuando [texx]n[/texx] es par y que sea [texx](1/(n+1), 1-1/n)[/texx] cuando es impar, y no entiendo muy bien el razonamiento que sigue.
Lógico, porque es [texx]\bigcap_{k \geq n} A_k = (1/n, 1-1/(n+1))[/texx] y [texx]\bigcup_{k \geq n} A_k = (0,1)[/texx]. Mira, haz una cosa: halla primero esto [texx]\bigcap_{k\ge 2n}A_{2n}[/texx] para un [texx]n\in\Bbb N[/texx] cualquiera, y luego esto [texx]\bigcap_{k\ge 2n+1}A_{2n+1}[/texx], y luego haz la intersección entre ellos.
Procede de la misma manera para el otro caso, haciendo esta vez [texx]\bigcup_{k\ge 2n}A_{2n}[/texx] y [texx]\bigcup_{k\ge 2n+1}A_{2n+1}[/texx].
Del enunciado saco en claro que, cuando son números pares trabajo con intervalos del tipo [texx](1/n,1)[/texx] y cuando son impares del tipo [texx](0,1-1/n)[/texx]. No entiendo por qué hay que intersectar el primer par con el primer impar y por qué con eso basta (perdón, de verdad, es que soy nuevo en esto y no lo termino de pillar).
Porque como mencioné en la respuesta anterior las subsucesiones de pares e impares son ambas crecientes, es decir que [texx]A_n\subset A_{n+2}\subset A_{n+4}\subset\ldots\subset A_{n+2m}\subset\ldots[/texx] para cualquier [texx]n\in\Bbb N[/texx], entonces la intersección de esta subsucesión es [texx]A_n[/texx]. Lo mismo pasa para la otra subsucesión de números de diferente paridad, por tanto [texx]\bigcap_{k\ge n}A_k=A_n\cap A_{n+1}[/texx].
