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Autor Tema: Límites superior e inferior.  (Leído 982 veces)
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vicentebarba
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« : 07/02/2019, 03:14:34 pm »

¡Hola! Estoy haciendo un par de ejercicios de límites de una sucesión de conjuntos y creo que no termino de entenderlos muy bien, a ver si me podéis ayudar.

El enunciado del primero es:

1. Dada la sucesión [texx]\{ A_n \}_{n \in \mathbb{N}}[/texx], definida por:

a) si [texx]n[/texx] es impar, [texx]A_n = \{ x : 0<x<1-\frac{1}{n} \}[/texx]

b) si [texx]n[/texx] es par, [texx]A_n = \{ x : \frac{1}{n}<x<1 \}[/texx]

Se pide determinar el límite de la sucesión, si existe.

El enunciado del segundo es:

2. Dado el espacio muestral [texx]\Omega=\mathbb{N}[/texx], se define la sucesión [texx]\{ A_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{P}(\Omega)[/texx], dada por

[texx]A_1 = \{ \mathbb{N} \setminus \{1\} \}[/texx]

[texx]A_2 = \{ \mathbb{N} \setminus \{2\} \}[/texx]

[texx]A_3 = \{ \mathbb{N} \setminus \{1,3\} \}[/texx]

[texx]A_4 = \{ \mathbb{N} \setminus \{2,4\} \}[/texx]

[texx]A_5 = \{ \mathbb{N} \setminus \{1,3,5\} \}[/texx]

...

Se pide determinar los límites superior e inferior de la sucesión.


Os cuento lo que he hecho en cada uno.

Lo primero de todo es que no sé cómo usar las definiciones conjuntistas de los límites superior e inferior en ninguno de los dos ejercicios.

Para el primero, he hecho tender [texx]n \to + \infty[/texx] en cada caso, y me sale que en ambos tiende hacia [texx](0,1)[/texx] por lo que el límite existirá y será el intervalo [texx](0,1)[/texx]. Pero claro, esto tiene una justificación paupérrima porque lo he hecho a ojo y no sé si está bien.

El segundo no sé cómo cogerlo, la verdad. He intentado tratar con las definiciones conjuntistas de límite superior e inferior, pero en este caso no sé exactamente qué estoy haciendo. Al final me queda que la subsucesión de pares tiende a [texx]\mathbb{N} \setminus \{impares\}[/texx] y la sucesión de impares a [texx]\mathbb{N} \setminus \{pares\}[/texx], pero tampoco sé qué conjunto de los dos es más grande ni si alguno de ellos es el límite superior (o inferior).

¿Alguien me puede echar una mano? Gracias y un saludo.
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« Respuesta #1 : 07/02/2019, 07:46:38 pm »

Para la primera parte: el límite inferior es [texx]\bigcup_{n\in\Bbb N}\bigcap_{k\ge n}A_k[/texx]. Es fácil de ver que [texx]\bigcap_{k\ge n}A_k=(1/n,1-1/(n+1))[/texx] cuando [texx]n[/texx] es par, y [texx](1/(n+1),1-1/n)[/texx] cuando [texx]n[/texx] es impar, ya que para valores pares los conjuntos forman una sucesión creciente, y para los impares también, por lo que sólo es necesario considerar la intersección del primer par y el primer impar. Y por tanto el límite inferior es [texx](0,1)[/texx].

Con el límite superior intercambiamos la unión y la intersección, en este caso tenemos que [texx]\bigcup_{k\ge n}A_k=(0,1)[/texx] para todo [texx]n\in\Bbb N[/texx], y por tanto el límite superior vuelve a ser [texx](0,1)[/texx], por lo que el límite de la sucesión de conjuntos es [texx](0,1)[/texx].

La segunda parte es parecida, ya que las subsucesiones de términos pares e impares son decrecientes.
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vicentebarba
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« Respuesta #2 : 09/02/2019, 01:58:34 pm »

No veo que [texx]\bigcup_{k \geq n} A_k = (1/n, 1-1/(n+1))[/texx] cuando [texx]n[/texx] es par y que sea [texx](1/(n+1), 1-1/n)[/texx] cuando es impar, y no entiendo muy bien el razonamiento que sigue.

Del enunciado saco en claro que, cuando son números pares trabajo con intervalos del tipo [texx](1/n,1)[/texx] y cuando son impares del tipo [texx](0,1-1/n)[/texx]. No entiendo por qué hay que intersecar el primer par con el primer impar y por qué con eso basta (perdón, de verdad, es que soy nuevo en esto y no lo termino de pillar).

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« Respuesta #3 : 09/02/2019, 02:18:53 pm »

No veo que [texx]\bigcup_{k \geq n} A_k = (1/n, 1-1/(n+1))[/texx] cuando [texx]n[/texx] es par y que sea [texx](1/(n+1), 1-1/n)[/texx] cuando es impar, y no entiendo muy bien el razonamiento que sigue.

Lógico, porque es [texx]\bigcap_{k \geq n} A_k = (1/n, 1-1/(n+1))[/texx] y [texx]\bigcup_{k \geq n} A_k = (0,1)[/texx]. Mira, haz una cosa: halla primero esto [texx]\bigcap_{k\ge 2n}A_{2n}[/texx] para un [texx]n\in\Bbb N[/texx] cualquiera, y luego esto [texx]\bigcap_{k\ge 2n+1}A_{2n+1}[/texx], y luego haz la intersección entre ellos.

Procede de la misma manera para el otro caso, haciendo esta vez [texx]\bigcup_{k\ge 2n}A_{2n}[/texx] y [texx]\bigcup_{k\ge 2n+1}A_{2n+1}[/texx].

Cita
Del enunciado saco en claro que, cuando son números pares trabajo con intervalos del tipo [texx](1/n,1)[/texx] y cuando son impares del tipo [texx](0,1-1/n)[/texx]. No entiendo por qué hay que intersectar el primer par con el primer impar y por qué con eso basta (perdón, de verdad, es que soy nuevo en esto y no lo termino de pillar).



Porque como mencioné en la respuesta anterior las subsucesiones de pares e impares son ambas crecientes, es decir que [texx]A_n\subset A_{n+2}\subset A_{n+4}\subset\ldots\subset A_{n+2m}\subset\ldots[/texx] para cualquier [texx]n\in\Bbb N[/texx], entonces la intersección de esta subsucesión es [texx]A_n[/texx]. Lo mismo pasa para la otra subsucesión de números de diferente paridad, por tanto [texx]\bigcap_{k\ge n}A_k=A_n\cap A_{n+1}[/texx].
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vicentebarba
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« Respuesta #4 : 09/02/2019, 07:24:59 pm »

¡Vale! Con esta aclaración lo he entendido bien, y ya lo he hecho, y el segundo también.

La teoría de la medida aplicada a la probabilidad es muy bonita pero las sucesiones de conjuntos se me pasan un poco de abstractas...

¡Muchas gracias! Un saludo
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