¿Qué hipótesis me estoy olvidando para decir que \(x_0=a^{\varphi(n)-1}b\)?

[feriva]

¿La operación asociada es siempre el producto de clases de equivalencia?

Porque por ejemplo utilizando esta "división" si tenemos que [texx]2x\equiv2\pmod{15}[/texx], entonces elijo [texx]m=2[/texx], ya que [texx]\gcd(2,15)=1[/texx] y [texx]m^{-1}=8[/texx] pues [texx]2\cdot8=16\equiv1\pmod{15}[/texx]. Así que la ecuación se reduce a

[texx]16x\equiv16\pmod{15}\implies x\equiv1\pmod{15},[/texx]

¿de acuerdo?

Podría haber elegido otro [texx]m[/texx] pero este era el óptimo para resolver la ecuación.

Saludos

Hola, manooooh, buenos días.

Permíteme que intervenga, aunque la pregunta no sea para mí.

En mi opinión, creo que sería mejor pensar antes en quién es el 1 al simplificar la congruencia. Pongas un 2 a los dos lados o el número que sea, siempre tendrás al dividir [texx]x\equiv1(mod\,15)
 [/texx]; ahora, haciendo eso, el inverso de “x” es 1, [texx]1\cdot x\equiv1\cdot1(mod\,15)
 [/texx]; o sea, dividendo por el número que pongas, x es 1 en [texx]\mathbb{Z}_{15}
 [/texx]. Si pones un 2 así,[texx]2x\equiv1(mod\,15)
 [/texx] (sin poner un 2 al otro lado) pues el inverso es x=8, si pones un 3, no hay inverso (el 3 no es una unidad), si pones un 4 el inverso es x=4..., etc.

Sin embargo, puedes plantear, por ejemplo, [texx]2x\equiv7(mod\,15)
 [/texx], donde no se puede dividir a ambos lados.

Y esa equivalencia se traduce en esta ecuación [texx]2x-7=15y\Rightarrow2x-15y=7
 [/texx], habiendo un teorema que asegura que existen enteros “a” y “b” tales que [texx]2a-15b=1
 [/texx], para 2 y 15 o los copirmos enteros que sean. Esto  supone la congruencia [texx]2a\equiv1(mod\,15)
 [/texx]; donde a=8 es el inverso (o digamos un representante del inverso, más en general, dejando anillos y cosas aparte).

De ahí, multiplicando a ambos lados por 7, [texx]2\cdot7\cdot a\equiv7(mod\,15)
 [/texx], tenemos “x=7a=56”; o sea:

[texx]2\cdot(7\cdot a)\equiv7(mod\,15)\Rightarrow2\cdot(56)=112\equiv7(mod\,15)
 [/texx]. Pero el inverso es “a” en la congruencia [texx]2a\equiv1(mod\,15)
 [/texx].

De esta forma el inverso nos ha servido como herramienta para hallar una solución entera para “x”.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

¿La operación asociada es siempre el producto de clases de equivalencia?

No acabo de entender la pregunta. ¡Claro, la operacion es el producto usual en los enteros módulo "tal"'!.

Porque por ejemplo utilizando esta "división" si tenemos que [texx]2x\equiv2\pmod{15}[/texx], entonces elijo [texx]m=2[/texx], ya que [texx]\gcd(2,15)=1[/texx] y [texx]m^{-1}=8[/texx] pues [texx]2\cdot8=16\equiv1\pmod{15}[/texx]. Así que la ecuación se reduce a

[texx]16x\equiv16\pmod{15}\implies x\equiv1\pmod{15},[/texx]

¿de acuerdo?

Podría haber elegido otro [texx]m[/texx] pero este era el óptimo para resolver la ecuación.

De acuerdo.

Sin embargo, puedes plantear, por ejemplo, [texx]2x\equiv7(mod\,15)
 [/texx], donde no se puede dividir a ambos lados.

Si se puede "dividir" en el sentido que le indicaba a manooooh y que el mismo ha aplicado en su mensaje anterior. Por dividir se entiende multiplicar por el inverso; el inverso de [texx]2[/texx] en [texx]\mathbb{Z}_{15}[/texx] es 8 y así:

[texx]2x\equiv7(mod\,15)\quad \Leftrightarrow{}\quad 8\cdot 2x\equiv 8\cdot 7(mod\,15)
\quad \Leftrightarrow{}\quad x\equiv 56(mod\,15)\quad \Leftrightarrow{}\quad x\equiv 11(mod\,15)[/texx]

Saludos.

[feriva]

Sin embargo, puedes plantear, por ejemplo, [texx]2x\equiv7(mod\,15)
 [/texx], donde no se puede dividir a ambos lados.

Si se puede "dividir" en el sentido que le indicaba a manooooh y que el mismo ha aplicado en su mensaje anterior. Por dividir se entiende multiplicar por el inverso; el inverso de [texx]2[/texx] en [texx]\mathbb{Z}_{15}[/texx] es 8 y así:

[texx]2x\equiv7(mod\,15)\quad \Leftrightarrow{}\quad 8\cdot 2x\equiv 8\cdot 7(mod\,15)
\quad \Leftrightarrow{}\quad x\equiv 56(mod\,15)\quad \Leftrightarrow{}\quad x\equiv 11(mod\,15)[/texx]

Saludos.

Me he expresado chapuceramente de nuevo, sí. Quería decir que eran coprimos, simplemente.

Saludos.

[manooooh]

Hola

Muchas gracias chicos, creo que les entendí todo.

No acabo de entender la pregunta. ¡Claro, la operacion es el producto usual en los enteros módulo "tal"'!.

Bueeno... Como en teoría de grupos se acostumbra a trabajar con la suma de clases en los enteros módulo [texx]n[/texx] me hizo confundir con ecuaciones lineales de congruencia .

Saludos

[feriva]

Hola

Muchas gracias chicos, creo que les entendí todo.

No acabo de entender la pregunta. ¡Claro, la operacion es el producto usual en los enteros módulo "tal"'!.

Bueeno... Como en teoría de grupos se acostumbra a trabajar con la suma de clases en los enteros módulo [texx]n[/texx] me hizo confundir con ecuaciones lineales de congruencia .

Saludos

Buenas tardes, manooooh.

Tengo muchas lagunas al no haber estudiado esto seriamente, pero me encanta la aritmética modular.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Seguramente me gusta tanto porque unos 50 años de mi vida me los he pasado "aquí" [texx]88\equiv4(mod\:12)
 [/texx]; adivina qué quiero decir

Creo que siempre se puede entender con clases (creo, lo supongo); por ejemplo, yo daba ese 56 módulo 15, sin reducir, pero, claro, se puede dejar en 11 por la equivalencia, como ha hecho Luis, y ya es tal cual de [texx]Z_{15}
 [/texx].

Lo que pasa es que las congruencias lineales suponen o se pueden entender también como la ecuación de una recta, donde las soluciones son los puntos de la recta que tienen por coordenadas x,y valores enteros; y considerando eso imagino que lo que tendrá más sentido o utilidad bajo esa perspectiva será tomarlos como números normales, como valores de la recta real.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Bueeno... Como en teoría de grupos se acostumbra a trabajar con la suma de clases en los enteros módulo [texx]n[/texx] me hizo confundir con ecuaciones lineales de congruencia .

Cuando trabajes con la suma en los enteros módulo [texx]n[/texx], usarás [texx]+[/texx]. 

Saludos.