¿La operación asociada es siempre el producto de clases de equivalencia?
Porque por ejemplo utilizando esta "división" si tenemos que [texx]2x\equiv2\pmod{15}[/texx], entonces elijo [texx]m=2[/texx], ya que [texx]\gcd(2,15)=1[/texx] y [texx]m^{-1}=8[/texx] pues [texx]2\cdot8=16\equiv1\pmod{15}[/texx]. Así que la ecuación se reduce a
[texx]16x\equiv16\pmod{15}\implies x\equiv1\pmod{15},[/texx]
¿de acuerdo?
Podría haber elegido otro [texx]m[/texx] pero este era el óptimo para resolver la ecuación.
Saludos
Hola, manooooh, buenos días.
Permíteme que intervenga, aunque la pregunta no sea para mí.
En mi opinión, creo que sería mejor pensar antes en quién es el 1 al simplificar la congruencia. Pongas un 2 a los dos lados o el número que sea, siempre tendrás al dividir [texx]x\equiv1(mod\,15)
[/texx]; ahora, haciendo eso, el inverso de “x” es 1, [texx]1\cdot x\equiv1\cdot1(mod\,15)
[/texx]; o sea, dividendo por el número que pongas, x es 1 en [texx]\mathbb{Z}_{15}
[/texx]. Si pones un 2 así,[texx]2x\equiv1(mod\,15)
[/texx] (sin poner un 2 al otro lado) pues el inverso es x=8, si pones un 3, no hay inverso (el 3 no es una unidad), si pones un 4 el inverso es x=4..., etc.
Sin embargo, puedes plantear, por ejemplo, [texx]2x\equiv7(mod\,15)
[/texx], donde no se puede dividir a ambos lados.
Y esa equivalencia se traduce en esta ecuación [texx]2x-7=15y\Rightarrow2x-15y=7
[/texx], habiendo un teorema que asegura que existen enteros “a” y “b” tales que [texx]2a-15b=1
[/texx], para 2 y 15 o los copirmos enteros que sean. Esto supone la congruencia [texx]2a\equiv1(mod\,15)
[/texx]; donde a=8 es el inverso (o digamos un representante del inverso, más en general, dejando anillos y cosas aparte).
De ahí, multiplicando a ambos lados por 7, [texx]2\cdot7\cdot a\equiv7(mod\,15)
[/texx], tenemos “x=7a=56”; o sea:
[texx]2\cdot(7\cdot a)\equiv7(mod\,15)\Rightarrow2\cdot(56)=112\equiv7(mod\,15)
[/texx]. Pero el inverso es “a” en la congruencia [texx]2a\equiv1(mod\,15)
[/texx].
De esta forma el inverso nos ha servido como herramienta para hallar una solución entera para “x”.
Saludos.