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Autor Tema: Problema sobre congruencia de triángulos  (Leído 194 veces)
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anthropus
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« : 01/02/2019, 07:25:18 pm »

En un triángulo obtusángulo [texx]ABC[/texx], obtuso en [texx]B[/texx], se traza la ceviana interior [texx]BF[/texx], tal que [texx]BAC=2BCA[/texx] , [texx]FBC=90°[/texx] , [texx]AC=24[/texx] y [texx]AB=10[/texx]. Calcular [texx]AF[/texx].


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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 06/02/2019, 10:09:41 am »

Hola

En un triángulo obtusángulo [texx]ABC[/texx], obtuso en [texx]B[/texx], se traza la ceviana interior [texx]BF[/texx], tal que [texx]BAC=2BCA[/texx] , [texx]FBC=90°[/texx] , [texx]AC=24[/texx] y [texx]AB=10[/texx]. Calcular [texx]AF[/texx].



 Una forma no muy elegante. En el tríangulo ABC por el teorema de los senos:

[texx]\dfrac{10}{sin(\gamma)}=\dfrac{24}{sin(180-3\gamma)}[/texx]

 Teniendo en cuenta que [texx]sin(180-3\gamma)=sin(3\gamma)=3sin(\gamma)-4sin^3(\gamma)[/texx] y simplificando se obtiene que:

[texx] sin^2(\gamma)=\dfrac{3}{20},\qquad cos^2(\gamma)=\dfrac{17}{20}[/texx]

 Por otra parte en el triángulo [texx]AFB[/texx] por el Teorema de los Senos:

[texx]\dfrac{10}{sin(90+\gamma)}=\dfrac{AF}{sin(90-3\gamma)}[/texx]

[texx]\dfrac{10}{cos(\gamma)}=\dfrac{AF}{cos(3\gamma)}[/texx]   (*)

Usando que:

[texx]cos(3\gamma)=4cos^3(\gamma)-3cos(\gamma)[/texx]

Sustituyendo en (*) y utilizando el valor de [texx]cos^2(\gamma)[/texx] se concluye que [texx]AF=4[/texx].

Saludos.
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anthropus
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« Respuesta #2 : 08/02/2019, 02:23:11 pm »

Si existe esta propiedad, el problema sale.



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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 12/02/2019, 07:23:59 am »

Hola

 Si claro. Es mucho más fácil como indicas  Aplauso:



 Los triángulos [texx]ABD[/texx], [texx]FBD[/texx] y [texx]BDC[/texx] son isósceles y por tanto:

[texx] CD=DB=DF=DB=AB=10[/texx]

 y:

 [texx]AF=AC-DF-CD=24-10-10=4[/texx]

Saludos.

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