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Autor Tema: Si un conjunto tiene dos elementos iguales, ¿qué ocurre con su cardinal?  (Leído 350 veces)
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manooooh
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« : 27/01/2019, 09:57:15 pm »

Hola!

Seguramente esta es una pregunta muy recurrente y, por tanto, respondida, pero no he sido capaz de encontrarla.

Sea por ejemplo [texx]A=\{1,1,2\}[/texx]. ¿Cuál es el cardinal de [texx]A[/texx]?

Por un lado, si uno no quiere leer los elementos que pertenecen al conjunto, entonces diríamos [texx]|A|=3[/texx]. Sin embargo, esto está mal.

Si nos detenemos a ver los elementos de [texx]A[/texx], observamos que hay dos elementos repetidos, por lo que [texx]A=\{1,2\}[/texx]. Entonces [texx]|A|=2[/texx], que es la respuesta correcta, ¿es así?

Gracias!
Saludos
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Gustavo
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« Respuesta #1 : 27/01/2019, 11:16:44 pm »

Hola,

El cardinal de A es 2 (a menos que en algún contexto en el que se esté trabajando se tenga [texx]1=2[/texx], en ese caso sería 1). Te puede interesar el concepto de multiconjunto.
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« Respuesta #2 : 27/01/2019, 11:47:41 pm »

Hola!

Seguramente esta es una pregunta muy recurrente y, por tanto, respondida, pero no he sido capaz de encontrarla.

Sea por ejemplo [texx]A=\{1,1,2\}[/texx]. ¿Cuál es el cardinal de [texx]A[/texx]?

Por un lado, si uno no quiere leer los elementos que pertenecen al conjunto, entonces diríamos [texx]|A|=3[/texx]. Sin embargo, esto está mal.

Si nos detenemos a ver los elementos de [texx]A[/texx], observamos que hay dos elementos repetidos, por lo que [texx]A=\{1,2\}[/texx]. Entonces [texx]|A|=2[/texx], que es la respuesta correcta, ¿es así?

Gracias!
Saludos

Un conjunto no puede tener elementos repetidos. Otra cosa es que se use la notación [texx]\{1,1,2\}[/texx] para denotar un multiconjunto, que en tal caso equivaldría al conjunto [texx]\{(1,2),(2,1)\}[/texx].
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #3 : 28/01/2019, 07:48:46 am »

Te doy varios argumentos:

  • 1) Imagina que en una habitación estamos exactamente las personas siguientes:
    • 1) Tú (manooooh)
    • 2) Yo (Carlos Ivorra)
    • 3) Tú (manooooh)
    ¿Cuántas personas dirías que hay en la habitación? Un conjunto es el que es. Independientemente de cómo lo nombres o de cómo presentes sus elementos.

  • 2) Lo que se llama comúnmente "contar" es técnicamente establecer una aplicación biyectiva. Si dices que un conjunto [texx]A[/texx] tiene [texx]3[/texx] elementos estás diciendo que existe una biyección [texx]f: \{1,2,3\}\longrightarrow A[/texx]. ¿Me puedes definir una biyección [texx]f:\{1,2,3\}\longrightarrow \{1,1,2\}[/texx] (y, ojo, que si me dices que [texx]f(1)=1 = f(2)[/texx] eso ya no será una aplicación biyectiva).

  • 3) Lo que se llama comúnmente "contar" es técnicamente establecer una aplicación biyectiva. Si dices que un conjunto [texx]A[/texx] tiene [texx]3[/texx] elementos estás diciendo que existe una biyección [texx]f: \{1,2,3\}\longrightarrow A[/texx]. ¿Me puedes definir una biyección [texx]f:\{1,2,3\}\longrightarrow \{1,1,2\}[/texx] (y, ojo, que si me dices que [texx]f(1)=1 = f(2)[/texx] eso ya no será una aplicación biyectiva).

  • 4) Por definición [texx]\{1,1,2\}=\{x\mid x = 1 \lor x = 1\lor x = 2\}[/texx], y esto es claramente igual a [texx]\{1,2\}=\{x\mid x = 1\lor x = 2\}[/texx], pues ambos conjuntos tienen los mismos elementos.

  • 5) Mi último argumento te lo planteo como una pregunta: ¿dirías a partir de esta enumeración que te he dado cinco argumentos?

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feriva
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« Respuesta #4 : 28/01/2019, 08:27:02 am »

Hola!

Seguramente esta es una pregunta muy recurrente y, por tanto, respondida, pero no he sido capaz de encontrarla.

Sea por ejemplo [texx]A=\{1,1,2\}[/texx]. ¿Cuál es el cardinal de [texx]A[/texx]?

Por un lado, si uno no quiere leer los elementos que pertenecen al conjunto, entonces diríamos [texx]|A|=3[/texx]. Sin embargo, esto está mal.

Si nos detenemos a ver los elementos de [texx]A[/texx], observamos que hay dos elementos repetidos, por lo que [texx]A=\{1,2\}[/texx]. Entonces [texx]|A|=2[/texx], que es la respuesta correcta, ¿es así?

Gracias!
Saludos

Hola, manooooh.

Así ha sido desde que tengo uso de razón (bueno, mejor vamos a decir desde que me acuerdo :cara_de_queso: ).

Sin embargo, la distinta escritura puede ser útil para decir cosas, de ahí, quizá, que se use el signo de equivalencia en vez del de igualdad: [texx]\{1,1,2\}\equiv\{1,2\}
 [/texx]; son representaciones distintas de una misa cosa.

Tiene sentido, del mismo modo que no decimos “sean el racional 4 y el racional [texx]\dfrac{8}{2}
 [/texx]” (dado que la conjunción no tiene cabida, pues sólo un número) con los conjuntos igual.

Y además no veo que surja ningún problema, podemos tener un conjunto de cardinal cinco tal que éstos sean sus elementos, 1,1,1,1,1; y son todos distintos porque hay un 1 que está más a la izquierda, luego le sigue otro... y así, se pueden distinguir por algo. Un conjunto de equis monedas, con más de una moneda y todas idénticas, es un conjunto de cardinal equis; no todos los elementos son el mismo elemento por mucho que sean idénticos, los elementos no son “números” en sentido de “objetos” o cántidad de símbolos, es otro concepto, es algo así como cuando se habla de “el hombre”, el ser humano en singular.

Cita
Por un lado, si uno no quiere leer los elementos que pertenecen al conjunto, entonces diríamos [texx]|A|=3[/texx]. Sin embargo, esto está mal.

Está mal porque en ese caso lees símbolos, no elementos.

Saludos.
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