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Autor Tema: Volumen parcial casquete esférico  (Leído 149 veces)
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SergioTete
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« : 17/05/2019, 11:16:38 am »

Estimados,
buenos días, siempre he consultado este foro pero sin inscribirme, lo hice para plantear un problema que no puedo resolver y no encuentro en el foro.
Quiero calcular el volumen que surge entre un casquete esférico y un plano perpendicular variable.




{El casquete esférico lo puedo calcular como [texx]V=\dfrac{1}{3}\pi.h^2(3r-h)[/texx]   Este casquete es cortado por un plano perpendicular M que varia entre los puntos A y B.
Lo que necesito calcular es el volumen dentro del casquete esférico pero solo por debajo del plano M.
En cuanto al uso es lo siguiente: el casquete esférico es el casquete de un tanque cilíndrico horizontal que contiene un liquido, el plano M representa el nivel del líquido. Y quiero calcular el volumen del casquete en función de la altura del liquido (zona amarilla).

Por favor agradecería su ayuda.
Gracias

* Casquete_esferico.png (4.11 KB - descargado 90 veces.)
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 19/05/2019, 11:49:34 am »

Hola

 Mira por aquí:

http://www.rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=5685.0

Saludos.
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SergioTete
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« Respuesta #2 : 23/05/2019, 10:05:42 am »

Observo que la formula que ahi figura:

V=r2⋅L⋅arcos(r−h/r)+1/3.π⋅h2⋅(3r−h)

Tiene algun error, no da el volumen . Es decir si pongo la altura maxima, la altura es mayor al radio y el primer termino da negativo.
Invirtiendo esos terminos tampoco da, calculo el volumen y da algo menor que el cilindro solo despresiando los casquetes.

Ej.
Tanque de largo L=4.5
Radio r=1.25
Tanque totalmente lleno implica h=2.5

El primer termino es -11.044 o +11.044 (con h-r/r) y el segundo termino es 8.18. Total: 19.22

Si calculo solo el cilindro con π.r2.h= 22.089

sds y agradecere vuestra ayuda
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« Respuesta #3 : 23/05/2019, 11:28:43 am »

Te bastaría calcular la superficie de cada "loncha" del volumen resaltado en amarillo y luego "sumarlas" todas en una integral.

Empezamos por lo básico: la longitud de las cuerdas paralelas al diámetro de un círculo de radio [texx]R[/texx] son iguales a [texx]2R\cos\alpha[/texx] donde [texx]R\sen\alpha=h[/texx], y donde [texx]h[/texx] es la altura que va desde el diámetro del círculo hasta la cuerda (paralela al diámetro), es decir que [texx]2R\cos(\arcsin h/R)=2R\sqrt{1-(h/R)^2}[/texx] es la longitud de la cuerda a altura [texx]h[/texx] respecto del centro del círculo, por tanto la superficie de un trozo de círculo cortado a altura [texx]h_0[/texx] será la integral [texx]2R\int_{h_0}^R\sqrt{1-(h/R)^2}\, dh[/texx].

Entonces el volumen que buscas es la integral

[texx]\displaystyle\int_{t_0}^{H}\int_{h_0}^{R(t)} 2R(t)\sqrt{1-(h/R(t))^2}\, dh\, dt[/texx]


con [texx]R(t):=H \sqrt{1-(t/H)^2}[/texx] es el radio del círculo que queda al cortar la esfera a una altura [texx]t[/texx] del centro de la esfera, donde [texx]H[/texx] es el radio de la esfera. Ahí [texx]t_0[/texx] y [texx]h_0[/texx] determinan los dos planos de corte. Así planteada la integral parece intratable, habría que ver como queda en coordenadas esféricas o en coordenadas cilíndricas, o planteando la integral de otro modo.



ACTUALIZACIÓN: bueno, se puede hacer la sustitución obvia de [texx]R(t)\sen\alpha=h[/texx] lo que simplifica la integral.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #4 : 23/05/2019, 11:42:17 am »

Hola

Observo que la formula que ahi figura:

V=r2⋅L⋅arcos(r−h/r)+1/3.π⋅h2⋅(3r−h)

Tiene algun error, no da el volumen . Es decir si pongo la altura maxima, la altura es mayor al radio y el primer termino da negativo.
Invirtiendo esos terminos tampoco da, calculo el volumen y da algo menor que el cilindro solo despresiando los casquetes.

 No. El arcocoseno se mide en [texx][0,\pi][/texx]: nunca da negativo. La fórmula es:

[texx]V=r^2\cdot L\cdot arcos(\displaystyle\frac{r-h}{r})+\displaystyle\frac{1}{3}\pi\cdot h^2\cdot (3r-h)[/texx]

 Cuando [texx]h=2r[/texx] queda:

[texx]V=r^2\cdot L\cdot arcos(-1)+\displaystyle\frac{1}{3}\pi\cdot 4r^2\cdot r=r^2L\pi+\dfrac{4\pi r^3}{3}[/texx]

 Es decir el volumen del cilindro más el volumen de la esfera.

 O por ejemplo cuando la altura está a la mitad, es decir, [texx]h=r [/texx]queda:

[texx]V=r^2\cdot L\cdot arcos(0)+\displaystyle\frac{1}{3}\pi\cdot r^2\cdot (2r)=\dfrac{r^2L\pi}{2}+\dfrac{2\pi r^3}{3}[/texx]

 es decir la mitad de la anterior.

Saludos.

P.D. Por favor, recuerda poner las fórmulas en LaTeX.
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