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Autor Tema: Cuantificadores e implicación  (Leído 2159 veces)
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paulajouannet
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« : 22/03/2008, 09:58:44 am »

Agradecería responder este problema.

Sean las proposiciones:
r: [texx]\forall{x}[/texx](p(x)[texx]\Rightarrow{q}[/texx])
s: [texx](\forall{x}[/texx]p(x))[texx]\Rightarrow{q}[/texx]
De las dos implicaciones, (r[texx]\Rightarrow{s}[/texx]) y (s[texx]\Rightarrow{r}[/texx]) determinar la que corresponde a una tautología. Justifique su elección.
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« Respuesta #1 : 22/03/2008, 15:36:59 pm »

Es fácil entendiendo en lenguaje natural lo que significan r y s.

r: Para todo x vale que si se cumple p(x) entonces se cumple q. Esto quiere decir que si tomamos un x arbitrario, entonces si se cumple p(x) se tiene que cumplir q.

s: Si p(x) se cumple PARA TODO x, entonces se cumple q.

Entendiendo esto deberías poder responderte la pregunta.


Saludos
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paulajouannet
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« Respuesta #2 : 22/03/2008, 16:23:29 pm »

Muchas gracias pro tu respuesta Ked, pero a pesar de que me inclino más por una opción, no estoy segura.
Agradecería otra aclaración.
de antemano muchas gracias
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« Respuesta #3 : 22/03/2008, 19:38:22 pm »

Paula

A las 10:23 te envié un segundo MP.
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« Respuesta #4 : 22/03/2008, 19:52:45 pm »

Muchas gracias pro tu respuesta Ked, pero a pesar de que me inclino más por una opción, no estoy segura.
Agradecería otra aclaración.
La respuesta es que r implica s.

Veamos primero por qué s no implica r. Por ejemplo piensa que x son elementos de un conjunto C formado por números naturales, p(x) = "x es par" y q es "todos los elementos del conjunto C son pares".

Entonces s: [texx]\forall x\ p(x) \Rightarrow q[/texx] sería "Si para todo elemento x del conjunto C se cumple que x es par, entonces todos los elementos del conjunto C son pares". Está claro que es verdado.

Ahora r: [texx]\forall x (p(x) \Rightarrow q)[/texx] sería "Para todo elemento x del conjunto C vale que, si x es par, entonces todos los elementos del conjunto C son pares". Esto es obviamente falso, como contraejemplo puedes tomar un conjunto C con solo un número par, y los demás impares.

¿Por qué r implica s?
Porque con r nos alcanza que la propiedad p(x) se cumpla PARA UN SOLO x, y así ya podemos afirmar que se tiene que cumplir q. ¿De acuerdo?

Asumiendo r, y queriendo probar s (o sea queremos probar [texx]r \Rightarrow s[/texx]), hay que demostrar que si p(x) se cumple para todo x, entonces se cumple q. Por r sabemos que donde p(x) se cumpla para algún x, entonces q se va a cumplir. Pero si p(x) se cumple para todo x (la hipótesis de s), entonces se cumple para alguno en particular, por r eso implica q. Esto hace que [texx]\forall x \ p(x) \Rightarrow q[/texx] sea correcto.

Notar que todo esto está bastante en el aire, si se quiere probar de una manera realmente formal hay que hacerlo, por ejemplo, construyendo una derivación.


Saludos
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« Respuesta #5 : 23/03/2008, 02:46:30 am »


Nombre:     paulajouannet
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Paula

A las 10:23 te envié un segundo MP.
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