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Autor Tema: Problema de Análisis Combinatorio  (Leído 357 veces)
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diegoalex
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« : 16/01/2019, 04:26:09 pm »

Hola, podrían ayudarme en este problema. Para transmitir señales de una isla a la costa, se dispone de 6 luces blancas y 6 rojas, colocadas en los vértices de un hexágono. En cada vértice no puede haber encendida más que una luz (blanca, roja) y el número mínimo de luces encendidas es 3. Hallar el número de señales distintas que se pueden formar.   
Gracias de antemano  :sonrisa:
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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #1 : 17/01/2019, 08:02:35 am »

Hola, podrían ayudarme en este problema. Para transmitir señales de una isla a la costa, se dispone de 6 luces blancas y 6 rojas, colocadas en los vértices de un hexágono. En cada vértice no puede haber encendida más que una luz (blanca, roja) y el número mínimo de luces encendidas es 3. Hallar el número de señales distintas que se pueden formar.   
Gracias de antemano  :sonrisa:

Pueden estar encendidas k= 3, 4, 5 o 6 luces. En cada caso, sin considerar aún su color, de pueden escoger de [texx]\binom{6}{k}[/texx] formas. Como cada una de ellas puede ser roja o blanca, tendremos que multiplicar el número anterior por [texx]2^k[/texx] y sumar los cuatro casos. Es decir:

[texx]\displaystyle\sum_{k=3}^6{\displaystyle\binom{6}{k}2^k}=\displaystyle\binom{6}{3}2^3+\displaystyle\binom{6}{4}2^4+\displaystyle\binom{6}{5}2^5+\displaystyle\binom{6}{6}2^6= 20\cdot{}8+15\cdot{}16+6\cdot{}32+1\cdot{}64
=656[/texx]

O más corto,

[texx] = \displaystyle\sum_{k=0}^6{\displaystyle\binom{6}{k}}2^k- \displaystyle\binom{6}{0}2^0-\displaystyle\binom{6}{1}2^1-\displaystyle\binom{6}{2}2^2=(2+1)^6-1-6·2-15·4=656[/texx]

Está última forma de clacular, nos indica también otra forma de razonar: Todas las posibilidades con 6 luces rojas, blancas o ninguna, menos las posibilidades con todas apagadas (1), con una encendida (2·6) o con dos encendidas (15·4).

Saludos,
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Luis Fuentes
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« Respuesta #2 : 17/01/2019, 08:08:01 am »

Hola

Hola, podrían ayudarme en este problema. Para transmitir señales de una isla a la costa, se dispone de 6 luces blancas y 6 rojas, colocadas en los vértices de un hexágono. En cada vértice no puede haber encendida más que una luz (blanca, roja) y el número mínimo de luces encendidas es 3. Hallar el número de señales distintas que se pueden formar.   
Gracias de antemano  :sonrisa:

Pueden estar encendidas k= 3, 4, 5 o 6 luces. En cada caso, sin considerar aún su color, de pueden escoger de [texx]\binom{6}{k}[/texx] formas. Como cada una de ellas puede ser roja o blanca, tendremos que multiplicar el número anterior por [texx]2^k[/texx] y sumar los cuatro casos. Es decir:

[texx]\displaystyle\sum_{k=3}^6{\displaystyle\binom{6}{k}2^k}=\displaystyle\binom{6}{3}2^3+\displaystyle\binom{6}{4}2^4+\displaystyle\binom{6}{5}2^5+\displaystyle\binom{6}{6}2^6= 20\cdot{}8+15\cdot{}16+6\cdot{}32+1\cdot{}64
=656[/texx]

O más corto,

[texx] = \displaystyle\sum_{k=0}^6{\displaystyle\binom{6}{k}}2^k- \displaystyle\binom{6}{0}2^0-\displaystyle\binom{6}{1}2^1-\displaystyle\binom{6}{2}2^2=(2+1)^6-1-6·2-15·4=656[/texx]

Está última forma de clacular, nos indica también otra forma de razonar: Todas las posibilidades con 6 luces rojas, blancas o ninguna, menos las posibilidades con todas apagadas (1), con una encendida (2·6) o con dos encendidas (15·4).

Me queda la duda de si el hecho de que las luces estén dispuestas en un hexágono ha de entenderse como que disposiciones que son iguales salvo giro (e incluso simétría) deben de contarse como una sola. Si fuese así el problema se complica y habría que acudir a estas técnicas:

https://en.wikipedia.org/wiki/Necklace_(combinatorics)

Saludos.
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« Respuesta #3 : 17/01/2019, 11:20:01 pm »

Hola, podrían ayudarme en este problema. Para transmitir señales de una isla a la costa, se dispone de 6 luces blancas y 6 rojas, colocadas en los vértices de un hexágono. En cada vértice no puede haber encendida más que una luz (blanca, roja) y el número mínimo de luces encendidas es 3. Hallar el número de señales distintas que se pueden formar.   
Gracias de antemano  :sonrisa:

Pueden estar encendidas k= 3, 4, 5 o 6 luces. En cada caso, sin considerar aún su color, de pueden escoger de [texx]\binom{6}{k}[/texx] formas. Como cada una de ellas puede ser roja o blanca, tendremos que multiplicar el número anterior por [texx]2^k[/texx] y sumar los cuatro casos. Es decir:

[texx]\displaystyle\sum_{k=3}^6{\displaystyle\binom{6}{k}2^k}=\displaystyle\binom{6}{3}2^3+\displaystyle\binom{6}{4}2^4+\displaystyle\binom{6}{5}2^5+\displaystyle\binom{6}{6}2^6= 20\cdot{}8+15\cdot{}16+6\cdot{}32+1\cdot{}64
=656[/texx]

O más corto,

[texx] = \displaystyle\sum_{k=0}^6{\displaystyle\binom{6}{k}}2^k- \displaystyle\binom{6}{0}2^0-\displaystyle\binom{6}{1}2^1-\displaystyle\binom{6}{2}2^2=(2+1)^6-1-6·2-15·4=656[/texx]

Está última forma de clacular, nos indica también otra forma de razonar: Todas las posibilidades con 6 luces rojas, blancas o ninguna, menos las posibilidades con todas apagadas (1), con una encendida (2·6) o con dos encendidas (15·4).

Saludos,


Muchas gracias. Era el último problema de un capítulo de combinaciones. No me salía y ni idea de como plantearlo.
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« Respuesta #4 : 17/01/2019, 11:23:17 pm »

Hola

Hola, podrían ayudarme en este problema. Para transmitir señales de una isla a la costa, se dispone de 6 luces blancas y 6 rojas, colocadas en los vértices de un hexágono. En cada vértice no puede haber encendida más que una luz (blanca, roja) y el número mínimo de luces encendidas es 3. Hallar el número de señales distintas que se pueden formar.   
Gracias de antemano  :sonrisa:

Pueden estar encendidas k= 3, 4, 5 o 6 luces. En cada caso, sin considerar aún su color, de pueden escoger de [texx]\binom{6}{k}[/texx] formas. Como cada una de ellas puede ser roja o blanca, tendremos que multiplicar el número anterior por [texx]2^k[/texx] y sumar los cuatro casos. Es decir:

[texx]\displaystyle\sum_{k=3}^6{\displaystyle\binom{6}{k}2^k}=\displaystyle\binom{6}{3}2^3+\displaystyle\binom{6}{4}2^4+\displaystyle\binom{6}{5}2^5+\displaystyle\binom{6}{6}2^6= 20\cdot{}8+15\cdot{}16+6\cdot{}32+1\cdot{}64
=656[/texx]

O más corto,

[texx] = \displaystyle\sum_{k=0}^6{\displaystyle\binom{6}{k}}2^k- \displaystyle\binom{6}{0}2^0-\displaystyle\binom{6}{1}2^1-\displaystyle\binom{6}{2}2^2=(2+1)^6-1-6·2-15·4=656[/texx]

Está última forma de clacular, nos indica también otra forma de razonar: Todas las posibilidades con 6 luces rojas, blancas o ninguna, menos las posibilidades con todas apagadas (1), con una encendida (2·6) o con dos encendidas (15·4).

Me queda la duda de si el hecho de que las luces estén dispuestas en un hexágono ha de entenderse como que disposiciones que son iguales salvo giro (e incluso simétría) deben de contarse como una sola. Si fuese así el problema se complica y habría que acudir a estas técnicas:

https://en.wikipedia.org/wiki/Necklace_(combinatorics)

Saludos.

Puesto que era un problema de un libro de introducción a la probabilidad, no creo que hayan considerado esa condición. En el libro vienen los resultados pero no el procedimiento. y la respuesta concuerda con la del libro. De todos modos gracias por tomarte la molestia de responder y mandarme un enlace con información. Le echaré un ojo. Saludos
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