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Autor Tema: Ecuación trigonométrica  (Leído 588 veces)
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« : 12/01/2019, 08:35:48 pm »

Hola, ya salí satisfecho con la ayuda que me dieron el otro día en el foro, les agradezco mucho.
Ahora tengo otro problema:

[texx] \displaystyle\frac{1}{1+\sen x}+ \displaystyle\frac{1}{1-\sen x}=8[/texx]                          [texx]x\in{(0,\frac{\pi }{2})}[/texx]         

No sé ni cómo empezar, he resuelto varias ecuaciones de trigonometría pero nunca una que parece un acertijo.
Si alguien me pudiera explicar se lo agradecería mucho.
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manooooh
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« Respuesta #1 : 12/01/2019, 08:58:56 pm »

Hola

[texx] \displaystyle\frac{1}{1+sen x}+ \displaystyle\frac{1}{1-sen x}=8[/texx]                          [texx]x\in{(0,\frac{\pi }{2})}[/texx]        

No sé ni cómo empezar, he resuelto varias ecuaciones de trigonometría pero nunca una que parece un acertijo.

Restando [texx]8[/texx] a ambos miembros y sacando denominador común, \begin{align*}
\frac{1\cancel{-\sin x}+1\cancel{+\sin x}-8\overbrace{(1+\sin x)(1-\sin x)}^\text{Diferencia de cuadrados}}{(1+\sin x)(1-\sin x)}=0&\implies2-8\underbrace{(1-\sin^2x)}_{\cos^2x}=0\;\wedge x\;\neq\arcsin-1\;\wedge\;x\neq\arcsin1\\&\implies\cos^2x=\frac14\\&\implies x=\pm\frac\pi3\\&\underbrace\implies_{x\in(0,\pi/2)}\boxed{x=\frac\pi3}.
\end{align*} Saludos

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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #2 : 12/01/2019, 09:05:26 pm »

[texx]\dfrac{1}{1+\sen(x)} + \dfrac{1}{1-\sen(x)} = \dfrac{1}{1+\sen(x)} \cdot \dfrac{1-\sen(x)}{1-\sen(x)} + \dfrac{1}{1-\sen(x)} \cdot \dfrac{1+\sen(x)}{1+\sen(x)} [/texx]
Utilizar que:
[texx](a+b)\cdot (a-b) = a^2-b^2[/texx]
[texx]1-\sen^2(x) =\cos^2(x) [/texx]
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manooooh se adelantó
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« Respuesta #3 : 13/01/2019, 07:57:56 pm »

Hola
Restando [texx]8[/texx] a ambos miembros y sacando denominador común, \begin{align*}
\frac{1\cancel{-\sin x}+1\cancel{+\sin x}-8\overbrace{(1+\sin x)(1-\sin x)}^\text{Diferencia de cuadrados}}{(1+\sin x)(1-\sin x)}=0&\implies2-8\underbrace{(1-\sin^2x)}_{\cos^2x}=0\;\wedge x\;\neq\arcsin-1\;\wedge\;x\neq\arcsin1\\&\implies\cos^2x=\frac14\\&\implies x=\pm\frac\pi3\\&\underbrace\implies_{x\in(0,\pi/2)}\boxed{x=\frac\pi3}.
\end{align*} Saludos

Gracias por la respuesta, pero igual le entendí más a Juan Pablo Sancho y me pareció más simple
[texx]\dfrac{1}{1+\sen(x)} + \dfrac{1}{1-\sen(x)} = \dfrac{1}{1+\sen(x)} \cdot \dfrac{1-\sen(x)}{1-\sen(x)} + \dfrac{1}{1-\sen(x)} \cdot \dfrac{1+\sen(x)}{1+\sen(x)} [/texx]
Utilizar que:
[texx](a+b)\cdot (a-b) = a^2-b^2[/texx]
[texx]1-\sen^2(x) =\cos^2(x) [/texx]
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