18/06/2019, 04:14:06 am *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Homenaje a aladan
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Orden de crecimiento de sin(sin(z))  (Leído 666 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Eparoh
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 185


Ver Perfil
« : 12/01/2019, 01:51:37 pm »

Hola, me piden calcular el orden de crecimiento de la función [texx]f(z)=\sin(\sin(z))[/texx] y la verdad, no se por donde cogerlo.
¿Alguna ayuda?
Un saludo y muchas gracias.
En línea
Gustavo
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Colombia Colombia

Mensajes: 1.726


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 12/01/2019, 05:03:51 pm »

Hola,

¿Cómo defines el orden de crecimiento?

Si es como aparece acá

https://en.wikipedia.org/wiki/Entire_function#Order_and_type

puedes expresar tu función en términos de exponenciales y ver por ejemplo el límite a lo largo de la parte negativa del eje imaginario, con lo que creo que obtienes que es de orden infinito.

Recuerdo que hay otra forma de definir el orden comparando con la función exponencial, pero no lo tengo en concreto ahora. De todas formas, creo que un buen comienzo sí es escribir tu función con exponenciales.
En línea
Eparoh
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 185


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 13/01/2019, 06:50:56 am »

Hola, la definición creo que si es esa, aun así pongo aquí las tres definiciones equivalentes que tengo.

Siendo
[texx]M(R)=\displaystyle\max_{\left |{z}\right | =R}{\left |{f(z)}\right |}[/texx]
se define el orden de crecimiento de una función entera [texx]f[/texx], no constante, de una de las siguiente formas equivalentes:

  • [texx]\lambda=\displaystyle\limsup_{R \to{+}\infty}{\dfrac{\log(\log(M(R))}{\log(R)}}[/texx]
  • [texx]\lambda=\displaystyle\inf_{}{\{a \geq 0: \left |{f(z)}\right | \leq e^{\left |{z}\right |^a}   \text{ para } \left |{z}\right | \text{suficiente grande}            \}}[/texx]
  • [texx]\lambda=\displaystyle\limsup_{n \to{+}\infty}{\dfrac{\log(n)}{-\log\left( \left |{a_n}\right | ^{\frac{1}{n}} \right)}} [/texx] donde [texx]f(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}{a_n z^n}[/texx]       

Ya intenté expresarlá en función de exponenciales y tratar de acotar [texx]M(R)[/texx] para hallar el limite deseado por la regla del sandwich como ha resultado útil en otros ejemplos, y también intenté expresar su desarrollo en serie de Taylor, pero no ví ningún patrón claro.
Muchas gracias aun así por los comentarios  :guiño:
En línea
Gustavo
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Colombia Colombia

Mensajes: 1.726


Ver Perfil
« Respuesta #3 : 13/01/2019, 05:47:10 pm »

Hola,

La que no recordaba muy bien era la segunda, pero si puedes usar la primera, es mejor. Nota que

[texx]M(t)\geqslant |\sin \sin(it)|= \frac12 |e^{\frac12(e^t-e^{-t})}-e^{\frac12(e^{-t}-e^t)}|\ge \frac14 e^{\frac12(e^t-e^{-t})} \ge \frac14 e^{\frac14e^t}[/texx]

porque [texx] e^{\frac12(e^{-t}-e^{t})}\le \frac14e^{\frac12(e^t-e^{-t})}[/texx] para [texx]t[/texx] grande (pues el lado izquierdo está acotado y el otro tiende a infinito). Algo similar para la otra desigualdad.
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!