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Autor Tema: Ejercicio serie de potencias en C  (Leído 769 veces)
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pepiso
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« : 18/01/2019, 04:55:10 pm »

Hola, tengo el siguiente problema,
[texx]Sea\;\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{a_n*z^n}\;una\;serie\;de\;potencias\;con\;radio\;de\;convergencia\;R>0\;¿que\;puedes\;\;decir\;de\;\displaystyle\sum_{0}^\infty{\frac{1}{a_k}z^n\;?}[/texx]

Yo he hecho esto y quisiera que me lo corrigieran,

Sabemos por Cauchy-Hadamart que [texx]\dfrac{1}{R}=\displaystyle \overline{\lim_{k \to \infty}}{\sqrt[k]{\left |{a_k}\right |}}[/texx] ahora bien de igual manera [texx]\dfrac{1}{R'}=\displaystyle\overline{\lim_{k \to \infty}}{\frac{1}{\sqrt[k]{\left |{a_k}\right |}}}[/texx] y razono que por tanto[texx] R'=\displaystyle\underline{\lim_{k \to \infty}}{\sqrt[k]{\left |{a_k}\right |}}[/texx] por tanto [texx]R'\leq{\dfrac{1}{R}}[/texx]

Si alguien pudiera corregir me han dicho que la solución no es esta aunque, no ha sido de una manera muy clara.
Un saludo.
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Masacroso
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« Respuesta #1 : 18/01/2019, 07:07:29 pm »

Podemos hacer algunas suposiciones, como por ejemplo suponer que la segunda serie de potencias está bien definida y que por tanto [texx]|a_k|>0[/texx] para todo [texx]k\in\Bbb N[/texx]. Con este supuesto tu solución me parece correcta, no veo otra respuesta más precisa que la que has dado.

A ver si alguien ve otra solución, yo de momento no veo ninguna mejor.
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pepiso
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« Respuesta #2 : 23/01/2019, 11:14:08 am »

Hola, me han dicho que no es así... Que debe haber un contraejemplo a la igualdad... Y que puede ser tanto mayor como menor o igual...
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Masacroso
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« Respuesta #3 : 23/01/2019, 12:03:25 pm »

Hola, me han dicho que no es así... Que debe haber un contraejemplo a la igualdad... Y que puede ser tanto mayor como menor o igual...

¿Qué igualdad? Pero efectivamente la desigualdad [texx]R'\le 1/R[/texx] no nos dice gran cosa sobre [texx]R'[/texx] ya que dependiendo del valor que tome [texx]R[/texx] entonces [texx]R'[/texx] puede tomar un valor menor, mayor o igual que [texx]R[/texx]. ¿Te refieres a eso?
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pepiso
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« Respuesta #4 : 23/01/2019, 03:17:40 pm »

A la de,
[texx] R'=\displaystyle\underline{\lim_{k \to \infty}}{\sqrt[k]{\left |{a_k}\right |}}[/texx]
y que R' puede ser menor, mayor o igual que 1/R.
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Masacroso
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« Respuesta #5 : 24/01/2019, 04:53:20 am »

A la de,
[texx] R'=\displaystyle\underline{\lim_{k \to \infty}}{\sqrt[k]{\left |{a_k}\right |}}[/texx]
y que R' puede ser menor, mayor o igual que 1/R.

Es que yo no veo falsedad en la igualdad dada, siempre que asumamos que [texx]a_k\neq 0[/texx] para todo [texx]k\in\Bbb N[/texx]. Entonces tendríamos que el radio de convergencia de la serie de potencias de recíprocos

[texx]\displaystyle R'=\frac1{\limsup \frac1{\sqrt[k]{|a_k|}}}[/texx]

está bien definido. Sea [texx]b_n:=\sqrt[k]{|a_k|}[/texx] entonces

[texx]\displaystyle \limsup\frac1{b_n}=\lim_{n\to\infty}\sup_{k\ge n}\frac1{b_k}[/texx]

Hemos asumido que [texx]b_n>0[/texx] para todo [texx]n\in\Bbb N[/texx], y ya que la función [texx]f(x):=1/x[/texx] es estrictamente decreciente en los positivos tenemos que

[texx]\displaystyle\sup_{k\ge n} \frac1{b_k}=\begin{cases}\frac1{\inf_{k\ge n} b_k},& \inf_{k\ge n} b_k\neq 0\\
\infty,&\text{ en otro caso}\end{cases}\tag1[/texx]

Entonces tenemos que

[texx]\displaystyle \limsup\frac1{b_n}=\begin{cases}\frac1{\liminf b_n},&\liminf b_n\neq 0\\\infty,&\text{ en otro caso}\end{cases}\tag2[/texx]

ya que la sucesión [texx](\inf_{k\ge n}b_k)_k[/texx] es no negativa y creciente. De todo esto nos queda que

[texx]\displaystyle R'=\liminf \sqrt[k]{|a_k|}\tag3[/texx]

Si hay algún error en lo anterior, yo no lo veo. Pregúntale a quien te ha dicho por qué esto debería ser incorrecto y deja aquí la respuesta, a ver si así concluimos algo.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #6 : 24/01/2019, 06:21:25 am »

Hola

Hola, me han dicho que no es así... Que debe haber un contraejemplo a la igualdad... Y que puede ser tanto mayor como menor o igual...

Estoy de acuerdo con Masacroso.

Si te piden un ejemplo donde [texx]R'<\dfrac{1}{R}[/texx] puedes tomar:

[texx]a_k=\begin{cases}{ 2^k}&\text{si}& k\textsf{ par}\\{ 3^k}&\text{si}& k\textsf{ impar}\end{cases}[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #7 : 24/01/2019, 01:09:36 pm »

Hola, pienso igual tal vez el matiz de que no hace falta asumir que [texx]b_k>0[/texx] pues, lo es por definición.
Me lo ha dicho mi profesora le he dicho que por que, pero, me ha dicho que puede que deje este ejercicio para el examen y que por ello no me puede decir la respuesta.
Así, que en eso estamos yo no veo por que no es y llevo bastantes horas dedicadas a ello.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #8 : 25/01/2019, 04:42:45 am »

Hola

Hola, pienso igual tal vez el matiz de que no hace falta asumir que [texx]b_k>0[/texx] pues, lo es por definición.

No entiendo esa frase.  Simplemente [texx]b_k[/texx] no es cero porque los [texx]a_k[/texx] no son cero, ya que en otro caso no puede tomarse [texx]1/a_k[/texx].

Cita
Me lo ha dicho mi profesora le he dicho que por que

No acabo de tener claro EXACTAMENTE qué te ha dicho. ¿Que la respuesta al problema es que no hay NINGUNA relación entre los radios de convergencia?.

Cita
pero, me ha dicho que puede que deje este ejercicio para el examen y que por ello no me puede decir la respuesta.

Tampoco entiendo muy bien eso.. pero en fin...

Saludos.
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pepiso
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« Respuesta #9 : 26/01/2019, 04:45:06 pm »

No entiendo esa frase.  Simplemente [texx]b_k[/texx] no es cero porque los [texx]a_k[/texx] no son cero, ya que en otro caso no puede tomarse [texx]1/a_k[/texx].
Me refería a eso mismo.
Yo tampoco entiendo muy bien lo que me dijo... Supuse que se refería a que había que caracterizar cuando era mayor que [texx]1/R[/texx] y cuando menor pero, no encuentro ni un contra ejemplo ni ningún matiz erróneo en lo que explique.
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