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Autor Tema: Funciones continuas y diferenciables densas en Lp  (Leído 414 veces)
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« : 04/01/2019, 09:37:16 pm »

Hola.

Estoy intentando probar lo siguiente:

Sean [texx]f\in L_{p}(\mathbb{R},A_{\mathbb{R}}^{*},\overline{\lambda}),[/texx] [texx]p\in[1,\infty),[/texx][texx]\epsilon>0.[/texx] Aquí [texx]A_{\mathbb(R)}^{*}[/texx] denota la sigma-álgebra de Lebesgue y [texx]\overline{\lambda}[/texx] la medida de Lebesgue en [texx]\mathbb{R}.[/texx] Entonces

i) existe [texx]A=A(\epsilon)>0[/texx]  y [texx]g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/texx] continua con [texx]g(x)=0[/texx] para [texx]x\not\in{[-A,A]}[/texx] tal que [texx]||f-g||_{p}<\epsilon.[/texx]

ii) existe [texx]g[/texx] escalonada (o lineal a tramos o bien diferenciable) tal que  [texx]||f-g||_{p}<\epsilon.[/texx]

Para la parte ii) he podido mostrar cuando g es lineal a tramos, pues las funciones simples son densas en [texx]L_{p}[/texx] sin embargo, para el caso i) y en el caso ii) para [texx]g[/texx] diferenciable tengo problemas.

Para la parte i) estaba considerando utilizar el teorema de Luzin para exhibir un intervalo compacto en el cual la restricción de [texx]f[/texx] a ese cerrado sea continua y utilizar el teorema de extensión de Tietze para obtener tal función continua, sin embrago no logro obtener la propiedad de que sea cero fuera del compacto.

Estaba pensando que la prueba podía ser similar a mostrar que las funciones continuas son densas en [texx]Lp,[/texx] la idea de esto es la siguiente: como [texx]f\in L_{p}[/texx] entonces existe [texx]N\in\mathbb{N}[/texx] tal que [texx]||f-f1_{N\leq{f}\leq{n}}||_{p}\leq{\epsilon}/2.[/texx] Sea [texx]f_{N}=f1_{N\leq{f}\leq{N}}[/texx] Usando el teorema de Lusin se obtiene un cerrado [texx]F[/texx] el cual hace a [texx]f_{N}|_{F}[/texx] continua para epsilon adecuada, luego usando Tietze se obtiene la extensión continua y es obtiene que la norma de la diferencia de estas funciones es menor que epsilon.

Intenté ajustar la idea anterior a la prueba de i) pero parece que el camino es otro.

Cualquier clase de ayuda es bienvenida.

Saludos.
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« Respuesta #1 : 05/01/2019, 01:54:33 am »

Una función simple está compuesta de un número finito de funciones indicatrices de conjuntos medibles con medida finita multiplicados por valores, es decir, una función simple tiene la forma [texx]s(x):=\sum_{k=1}^n c_k\chi_{A_k}(x)[/texx] donde [texx]\lambda(A_k)<\infty[/texx] y [texx]n\in\Bbb N[/texx].

Ahora bien, para cada conjunto medible [texx]A[/texx] existe un conjunto compacto [texx]K[/texx] contenido en él tal que [texx]\lambda(A)-\lambda(K)<\epsilon[/texx] para todo [texx]\epsilon>0[/texx], ya que la medida de Lebesgue es regular. Entonces se puede construir, para cada conjunto medible de medida finita [texx]A[/texx], una función continua [texx]\phi[/texx] tal que [texx]\phi(K)=1[/texx] y [texx]\phi(R^\complement)=0[/texx] donde [texx]R[/texx] es un abierto que contiene a [texx]A[/texx], tal que [texx]\lambda(R)-\lambda(A)<\delta[/texx] para un [texx]\delta>0[/texx] arbitrariamente pequeño, de nuevo eso es posible ya que la medida de Lebesgue es regular.

La pista final: hay una manera muy obvia de construir tal función continua [texx]\phi[/texx] de manera explícita (lo cual demuestra su existencia) utilizando las funciones distancia [texx]d(x,R^\complement)[/texx] y [texx]d(x,K)[/texx].

A partir de ahí ya se puede demostrar que [texx]\rm ii)\implies i)[/texx]. Ése es el camino que yo conozco. Ahora bien, una vez demostrado lo anterior se puede demostrar en la parte ii) la existencia de funciones continuas y diferenciables, simplemente utilizando el teorema de aproximación de Weierstrass con alguna cosa más.

Aunque, tal y como está formulado, yo creo que en ii) se refieren a funciones diferenciables a trozos, cosa que es obvia ya que las funciones escalonadas son diferenciables a trozos.
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« Respuesta #2 : 05/01/2019, 07:31:46 pm »

¡Wow! Muchas gracias Massacroso. Había olvidado por completo la regularidad de la medida de Lebesgue. Tu respuesta me ha resultado sumamente útil.

Un saludo.
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