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Autor Tema: Equivalencia entre medidas con signo y variación total  (Leído 80 veces)
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« : 01/02/2019, 02:31:56 am »

Hola.

Estoy intentando probar lo siguiente:

Sea [texx](X,\mathcal{S},\mu)[/texx] un espacio de medida. Para [texx]f_{i}\in L_{1}(\mu) (i=1,2)[/texx] fijas. defina dos medidas con signo finitas como sigue:

[texx]\rho_{i}(\cdot)=\int_{(\cdot)}f_i d\mu\space i=1,2[/texx]

Pruebe:

[texx]\mu(\{x\in X: f_1(x)=0\}\triangle\{x\in X: f_2(x)=0\})=0,[/texx] entonces [texx]\rho_1\equiv{\rho_2}.[/texx]

Como sugerencia se da que se pruebe que [texx]|\rho_{i}|(\cdot)=\int_{(\cdot)}|f_i| d\mu\space i=1,2[/texx]

La primer duda que me surge es la razón de por qué resulta suficiente con probar lo sugerido. Mi feeling es que se debe de probar la proposición para [texx]|\rho_{i}|(\cdot)=\int_{(\cdot)}|f_i| [/texx] y, una vez hecho esto, la proposición debería desprenderse sin tantos detalles. Sin embargo, no logro probar la proposición suponiendo que tal igualdad se satisface.

Segundo: Para probar que [texx]|\rho_{i}|(\cdot)=\int_{(\cdot)}|f_i| [/texx] estoy haciendo lo siguiente:
Sea [texx]A\in\mathcal{S}[/texx] y considérese una partición numerable medible [texx]\{A_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}[/texx] de [texx]A.[/texx] Se tiene entonces que

[texx]\sum_{n}|\mu(A_n)|=\sum_{n}|\int_{A_n}fd\mu|\leq\sum_{n}\int_{A_n}|f|d\mu=\int_{A}|f|d\mu,[/texx]

y como la variación total de [texx]\rho[/texx] es el supremo de las sumas infinitas de la forma [texx]\sum_{n}|\mu(A_n)|[/texx] tales que [texx]\{A_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}[/texx] es partición medible de [texx]A,[/texx] se sigue que [texx]|\rho_{i}|(A)\leq\int_{A}|f_i|d\mu.[/texx]

Para mostrar la otra desigualdad tengo algunos problemas. Me gustaría probar la existencia de una sucesión de funciones medibles [texx]\{g_n\}[/texx] para la cual se satisface [texx]|g_n(x)|=1[/texx] y [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{g_n(x)f(x)}=|f(x)|[/texx] para cada [texx]x\in X.[/texx] Si tal sucesión existiera se tendría fácilmente que [texx]|\int_{A}g_nf d\mu|\leq |\rho|(A)[/texx] y por convergencia dominada la otra desigualdad.

Cualquier clase de ayuda es agradecida desde ya.
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