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Autor Tema: Probar o refutar: \(\{\pi^n\mid n\in\Bbb Z\}\) es subgrupo de \((\Bbb C,+)\)  (Leído 805 veces)
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razielcero
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« : 19/01/2019, 03:06:28 am »

Hola... Estoy tratando de mostrar (o más bien de refutar, sin mucho éxito) que el conjunto [texx]H= \{ \pi ^n | n \in \mathbb{Z}\}[/texx] es subgrupo de [texx]( \mathbb{C}, +)[/texx]. El libro me indica que no lo es... Pero no logro ver cuál condición se incumple. Mi razonamiento es así:

1. [texx]H [/texx]debe ser cerrado bajo la suma de [texx] C [/texx]..... Primero, se sabe que [texx] \pi ^n = \underbrace{\pi + \pi  + ....+ \pi}_{n-  veces} = n\pi [/texx]. Luego sean [texx]n, m \in \mathbb{Z}[/texx] se tiene que [texx] n\pi + m\pi = (n+m)\pi[/texx] y [texx] (n+m) \in \mathbb{Z} [/texx] con lo cual es cerrado.... Sin embargo, lo único que me hace dudar es justamente aquí, pues mi argumento lo hago pasando de [texx] \pi^n[/texx] a [texx]n\pi[/texx] porque si escribo [texx] \pi ^n + \pi ^m = \pi^{n+m}[/texx] pues resulta... "extraño", en el sentido usual de las propiedades de la potencia. 

2. El elemento neutro de [texx]( \mathbb{C}, +)[/texx] es [texx](0,0)[/texx] y en particular para este caso [texx]0 \in H[/texx] pues [texx] \pi ^0 = 0[/texx]
 
3. Si [texx]\forall n \in Z [/texx] se sabe que [texx] \pi ^n = n\pi \in H[/texx], pues en particular el inverso de n; [texx]-n[/texx] también va a estar en [texx]Z[/texx]  y en consecuencia [texx] \pi ^{-n} \in H [/texx]

Gracias por la ayuda!  :sonrisa_amplia:
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manooooh
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« Respuesta #1 : 19/01/2019, 04:18:22 am »

Hola

No hay concordancia total entre el título y el enunciado, puesto que pareciera que se pide probar o refutar si un conjunto es subgrupo cíclico de un grupo, pero el enunciado no dice nada de "cíclico". De todas maneras creo que da lo mismo para este caso.

Estoy tratando de mostrar (o más bien de refutar, sin mucho éxito) que el conjunto [texx]H= \{ \pi ^n | n \in \mathbb{Z}\}[/texx] es subgrupo de [texx]( \mathbb{C}, +)[/texx]. (...)

¿[texx]\pi[/texx] es el signo que representa el número de toda la vida, o sea [texx]\pi=3.14\dots[/texx]?

Si es así,

(...) Se sabe que [texx] \pi ^n = \underbrace{\pi + \pi  + ....+ \pi}_{n-  veces} = n\pi [/texx]. (...)

no es cierto. Por ejemplo [texx]9.86\ldots=\pi^2\neq\pi+\pi=6.28\ldots[/texx].

El único error que logré ver (no sé si hay más pero con uno basta para refutar la proposición) es:

2. El elemento neutro de [texx]( \mathbb{C}, +)[/texx] es [texx](0,0)[/texx] y en particular para este caso [texx]0 \in H[/texx] pues [texx] \pi ^0 = 0[/texx]

Existe un muy bonito teorema cuyo enunciado es:

Teorema. Sean [texx](G,*)[/texx] un grupo y [texx]H[/texx] un conjunto. Si [texx]H[/texx] es subgrupo de [texx]G[/texx] y [texx]e\in H[/texx] es el elemento neutro de [texx]H[/texx], entonces [texx]e[/texx] es elemento neutro de [texx]G[/texx].

Aquí está demostrado por Fernando Revilla:

Si [texx]e\in G[/texx] es el elemento neutro de un grupo [texx]G[/texx] y [texx]e^\prime\in  H[/texx] es el neutro de un subgrupo [texx]H[/texx], entonces [texx]e^\prime x=x=e x[/texx] para todo [texx]x\in H[/texx] y por la propiedad cancelativa en [texx]G[/texx], se verifica [texx]e^\prime=e[/texx].

Sabemos (no es difícil comprobar) que el elemento neutro de [texx](\Bbb C,+)[/texx] es [texx]e=0+0i=(0,0)[/texx]. Sin embargo, [texx]e\not\in H=\{\ldots,(\pi^{-1},0),(\pi^0,0),(\pi^1,0),\ldots\}[/texx] puesto que si [texx](\pi^n,0)=(0,0)[/texx] implica que [texx]0=0[/texx] (trivial) o bien [texx]\pi^n=0[/texx], donde no existe ningún número entero [texx]n[/texx] que verifique lo anterior, puesto que [texx]\log_\pi(\pi^n)=\pi\neq\log_\pi(0)\not\in H[/texx] ([texx]n=0[/texx] no funciona porque [texx]\pi^0=1\neq0[/texx]).

Espero que se haya sido útil, sino cualquier duda preguntá (y que el resto por favor corrija si hay algo mal).

Saludos

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Fernando Revilla
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« Respuesta #2 : 19/01/2019, 06:50:12 am »

He cambiado el título Subgrupo cicilco al actual (sugerido por manooooh) al ser este último más despriptivo.

Hola... Estoy tratando de mostrar (o más bien de refutar, sin mucho éxito) que el conjunto [texx]H= \{ \pi ^n | n \in \mathbb{Z}\}[/texx] es subgrupo de [texx]( \mathbb{C}, +)[/texx].

Veamos, [texx]H= \{ \pi ^n | n \in \mathbb{Z}\}[/texx] es un subgrupo de [texx](\mathbb{C},\cdot)[/texx] (subgrupo generado por un elemento) pero no es subgrupo de [texx](\mathbb{C},+)[/texx] pues [texx]\pi^n\ne 0[/texx] para todo [texx]n\in \mathbb{Z}[/texx] es decir, [texx]H[/texx] no contiene al elemento neutro de [texx](\mathbb{C},+)[/texx].
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razielcero
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« Respuesta #3 : 19/01/2019, 03:03:36 pm »

Gracias por sus respuestas manooooh y Fernando!

Reacciono a sus comentarios, pues aún no logro ver la inconsistencia

1.

Si es así,

(...) Se sabe que [texx] \pi ^n = \underbrace{\pi + \pi  + ....+ \pi}_{n-  veces} = n\pi [/texx]. (...)

no es cierto. Por ejemplo [texx]9.86\ldots=\pi^2\neq\pi+\pi=6.28\ldots[/texx].


Desde luego entiendo que en el contexto "usual" de [texx]( \mathbb{R}, +, \cdot)[/texx] no va a suceder que [texx] \pi^2 = \pi + \pi [/texx], tan mal no estoy  :risa: ...Sin embargo, lo que entiendo es que en la notación de grupos se tiene  [texx] a^n = \underbrace{a \oplus a \oplus a.... \oplus a}_{n veces}[/texx] donde [texx]\oplus [/texx] es la operación del grupo [texx] (G, \oplus)[/texx] y lógicamente aclarando que [texx] a \in G[/texx], (al menos así es en el libro que estoy siguiendo) por ese motivo es que hice la afirmación de [texx] \pi ^n = \underbrace{\pi + \pi  + ....+ \pi}_{n-  veces} = n\pi [/texx].

2. En relación con los comentarios que me han hecho sobre el elemento neutro, lo que ocurre es que en el texto que llevo de guía dice lo siguiente (cito textualmente): " Desde luego un subgrupo que contenga a [texx]a[/texx] debe también contener la identidad [texx]e=aa^{-1}[/texx] Por razones simbólicas obvias, estamos de acuerdo en que [texx]a^0 = e...[/texx] "... Entonces, lo que entiendo es que un elemento del subgrupo elevado a cero va a ser igual al elemento neutro, por eso realicé la afirmación [texx] \pi^0 = 0[/texx]  :¿eh?:

Gracias de nuevo!
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Fernando Revilla
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« Respuesta #4 : 20/01/2019, 05:15:41 am »

Desde luego entiendo que en el contexto "usual" de [texx]( \mathbb{R}, +, \cdot)[/texx] no va a suceder que [texx] \pi^2 = \pi + \pi [/texx], tan mal no estoy  :risa: ...Sin embargo, lo que entiendo es que en la notación de grupos se tiene  [texx] a^n = \underbrace{a \oplus a \oplus a.... \oplus a}_{n veces}[/texx] donde [texx]\oplus [/texx] es la operación del grupo [texx] (G, \oplus)[/texx] y lógicamente aclarando que [texx] a \in G[/texx], (al menos así es en el libro que estoy siguiendo) por ese motivo es que hice la afirmación de [texx] \pi ^n = \underbrace{\pi + \pi  + ....+ \pi}_{n-  veces} = n\pi [/texx].
2. En relación con los comentarios que me han hecho sobre el elemento neutro, lo que ocurre es que en el texto que llevo de guía dice lo siguiente (cito textualmente): " Desde luego un subgrupo que contenga a [texx]a[/texx] debe también contener la identidad [texx]e=aa^{-1}[/texx] Por razones simbólicas obvias, estamos de acuerdo en que [texx]a^0 = e...[/texx] "... Entonces, lo que entiendo es que un elemento del subgrupo elevado a cero va a ser igual al elemento neutro, por eso realicé la afirmación [texx] \pi^0 = 0[/texx]

Por razones de comodidad notacional es usual en teoría de grupos usar con preferencia la notación multiplicativa. En consecuencia, para un grupo [texx](G,\cdot)[/texx] la notación [texx]a^n[/texx] significa

          [texx]\underbrace{aa\cdots a}_{n}[/texx] si [texx]n >0[/texx],
          [texx]\underbrace{a^{-1}a^{-1}\cdots a^{-1}}_{-n}[/texx] si [texx]n <0[/texx]
          [texx]a^0=e[/texx] (elemeno neutro).

Nos dan el grupo aditivo [texx](\mathbb{C},+)[/texx] y resulta que en [texx]\mathbb{C}[/texx] existe otra conocida operación: el producto. En consecuencia, es natural interpretar que (por ejemplo) [texx]\pi^3=\pi\pi\pi[/texx] y no [texx]\pi^3=\pi+\pi+\pi[/texx] pues para notación aditiva [texx]\pi+\pi+\pi[/texx] se escribiría [texx]3\pi[/texx].
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razielcero
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« Respuesta #5 : 20/01/2019, 04:49:53 pm »

Sí, distingo entre la notación aditiva y multiplicativa en grupos, pero entonces el ejercicio dice que [texx] H = \{ a^n |n \in Z \}[/texx] (notación multiplicativa).... Pero debo utilizar la operación que tiene el grupo [texx]( \mathbb{C}, +)[/texx] (grupo aditivo, notación aditiva) creo que por ello "revolví" ambas notaciones.... ¿¿Sí es multiplicativo, entonces se cumpliría que [texx] \pi^0 = 0[/texx] por lo dicho en anteriores mensajes [texx](a^0 = e)[/texx]?? No obstante, el grupo es aditivo, en ese caso no entiendo qué ocurriría (teniendo en mente la notación del ejercicio)...? O el subconjunto no es subgrupo quizás por el mismo conflicto de operaciones que (yo creo que) hay?  :BangHead:

EDITO: Tras reflexionar unos momentos y releer el mensaje inicial de Fernando con una nueva perspectiva, creo empezar a entender (espero que bien) que la justificación está relacionada con la frase que he dejado en negrilla y subrayado... El elemento neutro existiría en el subconjunto si fuera un grupo multiplicativo, pero dado que la operación del grupo es aditiva, pues no hay manera de que se cumpla con la condición que tiene el subconjunto... Correcto?
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Fernando Revilla
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« Respuesta #6 : 21/01/2019, 05:10:36 pm »

EDITO: Tras reflexionar unos momentos y releer el mensaje inicial de Fernando con una nueva perspectiva, creo empezar a entender (espero que bien) que la justificación está relacionada con la frase que he dejado en negrilla y subrayado... El elemento neutro existiría en el subconjunto si fuera un grupo multiplicativo, pero dado que la operación del grupo es aditiva, pues no hay manera de que se cumpla con la condición que tiene el subconjunto... Correcto?

Es correcto.
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