Algoritmo de Euclides

[vicentebarba]

¡Hola!

Estoy preparando un examen de álgebra y me he quedado atascado con el siguiente ejercicio. Dice así:

Sean [texx]f(X)=X^3 + 7X^2 - 18X + 30[/texx] y [texx]g(X)=X+1[/texx] polinomios de [texx]\mathbb{Q}[X][/texx]. Sea [texx]R=\mathbb{Q}/(f)[/texx] y sea [texx]I=(f,g)[/texx].

a) Demostrar que [texx]R[/texx] es un cuerpo.

b) Encontrar, si es posible, [texx]h(X) \in \mathbb{Q}[X][/texx] tal que [texx]I=(h)[/texx].

c) Hallar el inverso de [texx]\overline{g}[/texx] en [texx]R[/texx].


Mi idea es no trabajar directamente con los elementos del cociente, ya que las cuentas saldrían muy largas.

Para el primer apartado se me ha ocurrido usar el criterio modular con [texx]p=7[/texx], ya que el ideal [texx](7)[/texx] es primo y sale que el polinomio es irreducible en el cociente, es irreducible en [texx]\mathbb{Q}[X][/texx]. Como [texx]f[/texx] es irreducible, entonces el ideal que genera es primo, por trabajar en un dominio de ideales principales es maximal y, por tanto, el cociente es un cuerpo.

Para el segundo apartado tengo que calcular un máximo común divisor de [texx]f[/texx] y [texx]g[/texx], pero como [texx]f[/texx] es irreducible será [texx]h(X)=1[/texx].

Para el último apartado tengo la intuición de que hay que usar la identidad de Bézout y el máximo común divisor, pero no sé cómo. ¿Me podéis ayudar?

Gracias y un saludo.

[geómetracat]

Todo lo que dices es correcto.
Para el último apartado, tienes la respuesta en el título de tu pregunta: aplica el algoritmo de Euclides para obtener una identidad de Bézout. Funciona exactamente igual que para números enteros, así que consiste en ir dividiendo polinomios. Como son de grados [texx]1[/texx] y [texx]3[/texx], el algoritmo tendrá un único paso (que consiste en dividir [texx]f(X)[/texx] por [texx]g(X)[/texx]).
Llegarás a una identidad de la forma [texx]p(X)f(X) + q(X)g(X) = 1[/texx], para ciertos polinomios [texx]p(X),q(X) \in \mathbb{Q}[X][/texx]. Entonces, pasando al cociente, como la clase de [texx]f(X)[/texx] es [texx]0[/texx], obtienes que el inverso de [texx]\overline{g(X)}[/texx] es [texx]\overline{q(X)}[/texx].

Si tienes cualquier problema, avisa y pongo más detalles.

[vicentebarba]

¡Lo he entendido, muchas gracias!