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Autor Tema: Mínimo local, Hessiano definido positivo  (Leído 118 veces)
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anaaaaaaa
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« : 17/01/2019, 09:28:28 am »

Alguien podría ayudarme con esta demostración ,

Probar que si [texx]x*[/texx] es un mínimo local de la función [texx]f:\mathbb{R}^N\to \mathbb{R}[/texx] dos veces diferenciable con continuidad sobre el conjunto convexo [texx]X[/texx], entonces

[texx](x-x^*)^t\nabla^2f(x^*)(x-x^*)\geq 0[/texx]

para todo [texx]x[/texx] tal que [texx](\nabla f(x))^t(x-x^*)=0[/texx].

Muchas gracias.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 17/01/2019, 09:45:28 am »

Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

 Por esta vez hemos corregido el mensaje desde la administración.

Alguien podría ayudarme con esta demostración ,

Probar que si [texx]x*[/texx] es un mínimo local de la función [texx]f:\mathbb{R}^N\to \mathbb{R}[/texx] dos veces diferenciable con continuidad sobre el conjunto convexo [texx]X[/texx], entonces

[texx](x-x^*)^t\nabla^2f(x^*)(x-x^*)\geq 0[/texx]

para todo [texx]x[/texx] tal que [texx](\nabla f(x))^t(x-x^*)=0[/texx].

Muchas gracias.

 Considera la aplicación:

[texx]g:I\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}[/texx]

[texx]g(t)=f(x^* +t(x-x^*))[/texx]

 Está definida en un entorno del cero, dado que [texx]X[/texx] es convexo. Es de clase dos por ser composición de funciones de clase dos.

 Por ser [texx]x^*[/texx] un mínimo local [texx]t_0=0[/texx] es un mínimo local de [texx]g[/texx]. Entonces:

[texx]g''(0)\geq 0[/texx]

 Comprueba aplicando dos veces la regla de la cadena que:

[texx]g''(t_0)=(x-x^*)^t\nabla^2f(x^*)(x-x^*)[/texx]

 Completa los detalles.

Saludos.

P.D. No veo que haga falta esta condición:

[texx](\nabla f(x))^t(x-x^*)=0[/texx]

Verifica que el enunciado está bien escrito.
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