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Autor Tema: Expresión analítica de una función racional  (Leído 1826 veces)
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Xtimmler
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« : 09/01/2019, 03:02:04 pm »

Hola, Buenas Tardes,

necesito ayuda con este problema del módulo de ingreso de la facultad de ingeniería (igual sigue siendo tema de secundaria), me pide que apartir de la gráfica de la imagen encuentre la ecuación de la función, la gráfica tiene de dominio

    [texx]X \in{\mathbb{R}} -\left\{1{,3}\right\}[/texx]

tiene de asíntota vertical 1, asíntota horizontal 1 corta con el eje Y en 2 con el eje X en 2 además X no puede ser 3. La única respuesta similar que se me ocurrió fue:

    [texx]f(x)=\displaystyle\frac{(x-3)(x-2)}{(x-3)(x-1)}[/texx]

ya que ahí X no podria ser ni 3 ni 1 pero en el resto fui probando hasta que medio me de algo no se tampoco si está del todo bien igual.



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« Respuesta #1 : 09/01/2019, 03:25:33 pm »

Una solución tengo, pero porque reconozco que función es. Ahora bien, si no hubiese reconocido qué tipo de función es me sería más difícil.

Fíjate que la función es simétrica respecto de la recta [texx]g(x)=x[/texx] y se parece mucho a la función [texx]f(x)=1/x[/texx], es decir, la función que buscas es una hipérbola. A ver si con esa pista lo consigues resolver.
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mathtruco
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« Respuesta #2 : 09/01/2019, 04:03:35 pm »

Hola Xtimmler, bienvenido al foro.

Escribiste muy bien las ecuaciones (lo que normalmente es lo más difícil para los que llegan), pero hice unas modificaciones a tu mensaje:

    1. las letras que ahora están en negrita (míralas),
    2. y la imagen (era demasiado grande y demoraba en cargar, así que la achiqué y la volví a subir).
 
Para que las fracciones se vean más grande puedes escribir \displaystyle.



Sobre tu pregunta, tu solución es correcta:       [texx]f(x)=\dfrac{(x-3)(x-2)}{(x-3)(x-1)}[/texx].

Yo la hubiera escrito así:

    [texx]f:\mathbb{R}\setminus\{1,3\}\longrightarrow\mathbb{R}[/texx],    [texx]f(x)=\dfrac{x-2}{x-1}[/texx],

pero es exactamente lo mismo que escribiste tú.


Me imagino que consideraste que

  • [texx]\displaystyle\lim_{x\to 3}f(x)=\lim_{x\to 3^+}f(x)=\lim_{x\to 3^-}f(x)=\dfrac{1}{2}[/texx]
  • [texx]\displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x)=-\infty[/texx]
  • [texx]\displaystyle\lim_{x\to 1^-}f(x)=+\infty[/texx]

Tu solución lo cumple, pregunto sólo para estar seguro si hiciste este análisis.
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Xtimmler
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« Respuesta #3 : 09/01/2019, 08:06:24 pm »

Hola Xtimmler, bienvenido al foro.

Escribiste muy bien las ecuaciones (lo que normalmente es lo más difícil para los que llegan), pero hice unas modificaciones a tu mensaje:

    1. las letras que ahora están en negrita (míralas),
    2. y la imagen (era demasiado grande y demoraba en cargar, así que la achiqué y la volví a subir).
 
Para que las fracciones se vean más grande puedes escribir \displaystyle.



Sobre tu pregunta, tu solución es correcta:       [texx]f(x)=\dfrac{(x-3)(x-2)}{(x-3)(x-1)}[/texx].

Yo la hubiera escrito así:

    [texx]f:\mathbb{R}\setminus\{1,3\}\longrightarrow\mathbb{R}[/texx],    [texx]f(x)=\dfrac{x-2}{x-1}[/texx],

pero es exactamente lo mismo que escribiste tú.


Me imagino que consideraste que

  • [texx]\displaystyle\lim_{x\to 3}f(x)=\lim_{x\to 3^+}f(x)=\lim_{x\to 3^-}f(x)=\dfrac{1}{2}[/texx]
  • [texx]\displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x)=-\infty[/texx]
  • [texx]\displaystyle\lim_{x\to 1^-}f(x)=+\infty[/texx]

Tu solución lo cumple, pregunto sólo para estar seguro si hiciste este análisis.

Gracias, me tome el tiempo de investigar bien antes de hacer mi primer pregunta y en cuanto al tema de la ecuacion, no no hice lo que vos decis, es más no entiendo lo que quisiste expresar, como dije en la pregunta al denominador llegue a esa conclucion pero en el numerador más bien fui probando distinto hasta que me salio algo, pero más bien me gustaria saber una explicacion de como encontrar la ecuacion de una funcion racional, algo que me parece raro es que si cancelamos (x-3) nos daria simplemente que X no puede valer 3 pero si 1.
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Xtimmler
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« Respuesta #4 : 09/01/2019, 08:12:58 pm »

Una solución tengo, pero porque reconozco que función es. Ahora bien, si no hubiese reconocido qué tipo de función es me sería más difícil.

Fíjate que la función es simétrica respecto de la recta [texx]g(x)=x[/texx] y se parece mucho a la función [texx]f(x)=1/x[/texx], es decir, la función que buscas es una hipérbola. A ver si con esa pista lo consigues resolver.

La función es racional como dice el titulo, si es una hipérbola seria una oblicua que me parecería muy complicado y ni esta en el modulo eso, además que una hipérbola pueda tener un punto ausente como en este caso.
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manooooh
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« Respuesta #5 : 09/01/2019, 08:26:45 pm »

Hola

No hice lo que vos decís, es más no entiendo lo que quisiste expresar (...)

mathtruco te explicó por qué tu función se ajusta a las condiciones que pide el enunciado. Consideró las definiciones de asíntota horizontal y vertical en un punto.

(...) Me gustaría saber una explicación de cómo encontrar la ecuación de una función racional (...)

¿A qué te referís con una explicación de cómo encontrar una función racional? La definición la podés encontrar en la Wikipedia. Se trata de una expresión de la forma [texx]\dfrac{P(x)}{Q(x)}[/texx], donde [texx]P(x)[/texx] y [texx]Q(x)\neq0[/texx] son polinomios de cualquier grado dependientes de [texx]x[/texx]. ¿Específicamente qué no podés ver?

(...) Algo que me parece raro es que si cancelamos (x-3) nos daría simplemente que X no puede valer 3 pero sí 1.

No; la función

[texx]f(x)=\displaystyle\frac{(x-3)(x-2)}{(x-3)(x-1)}[/texx]

no está definida ni para [texx]x=3[/texx] ni para [texx]x=1[/texx] pues anulan el denominador, y sabemos que un número partido por cero es indeterminado, por lo que el dominio de tu función es [texx]\Bbb R\setminus\{1,3\}[/texx], que coincide con lo que decía mathtruco.

Saludos
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« Respuesta #6 : 09/01/2019, 09:25:58 pm »

mathtruco te explicó por qué tu función se ajusta a las condiciones que pide el enunciado. Consideró las definiciones de asíntota horizontal y vertical en un punto.

No entiendo de limites

¿A qué te referís con una explicación de cómo encontrar una función racional? La definición la podés encontrar en la Wikipedia.

Entiendo lo que es una función racional, lo que no entiendo es como sacar la expresión analítica según un gráfico de una función racional, cual seria el procedimiento para sacarla.

no está definida ni para [texx]x=3[/texx] ni para [texx]x=1[/texx] pues anulan el denominador, y sabemos que un número partido por cero es indeterminado, por lo que el dominio de tu función es [texx]\Bbb R\setminus\{1,3\}[/texx], que coincide con lo que decía mathtruco.

Lo que quería decir es que con [texx]f(x)=\displaystyle\frac{x-2}{x-1}[/texx]
X puede valer 3 pero no 1 (me había confundido y lo había dicho al revés).
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« Respuesta #7 : 09/01/2019, 09:45:56 pm »

Hola

No entiendo de limites

¿No entendés porque no te explicaron la teoría de límites o porque te la explicaron pero no sabés cómo usarla en este ejercicio?

Entiendo lo que es una función racional, lo que no entiendo es como sacar la expresión analítica según un gráfico de una función racional, cual seria el procedimiento para sacarla.

Pues... no hay una regla general que dictamine que diga que sólo viendo el gráfico podamos descubrir la expresión analítica exacta de la función, porque puede ser que coincida en un cierto intervalo (el de la foto que nos den) pero puede ser que a partir de lo que "no se vea" la función tome otros valores. Aunque para este caso en específico es muy probable que la función sea la discutida ya que se comporta muy normalmente, no tiene cosas raras.

En el caso de la foto observamos que la función no está definida ni para [texx]x=3[/texx] ni para [texx]x=1[/texx] (¿entendés por qué?). Luego tiene asíntota horizontal de ecuación [texx]y=1[/texx] puesto que cuando la función se hace muy grande la gráfica se acerca a un valor y no sale disparada al infinito. Y finalmente tiene una asíntota vertical de ecuación [texx]x=1[/texx] puesto que cuando la función se acerca mucho a ese valor (sin que lo sea), la función sale disparada al infinito.

Eso te da la pauta de que la función es la que discutieron.

Lo que quería decir es que con [texx]f(x)=\displaystyle\frac{x-2}{x-1}[/texx]
X puede valer 3 pero no 1 (me había confundido y lo había dicho al revés).

Bien. Aquí se empieza a jugar con el dominio de la función. Si no hay un dominio explícito entonces el dominio se considera como el que aparece en la función. En el caso de la cita, [texx]f(x)=\displaystyle\frac{x-2}{x-1}[/texx] tiene como dominio todos los reales menos el [texx]1[/texx], y esta función NO cumple con las condiciones de la foto.

Sin embargo, la función original no era [texx]f(x)=\displaystyle\frac{x-2}{x-1}[/texx], sino que era [texx]f(x)=\displaystyle\frac{\color{red}(x-3)\color{black}(x-2)}{\color{red}(x-3)\color{black}(x-1)}[/texx]. Es muy importante saber de dónde viene la expresión para tener el dominio correcto. Como vemos, si ponemos [texx]x=3[/texx] en lo marcado en rojo queda indeterminado [texx]0/0[/texx], o sea que [texx]x=3[/texx] no pertenece al dominio. Tampoco pertenece [texx]x=1[/texx], pues [texx]2/0[/texx] también es indeterminado. Esta función CUMPLE con las condiciones del enunciado.



Como ejemplo, considerá las funciones [texx]f(x)=\dfrac xx[/texx] y [texx]g(x)=1[/texx]. ¿Son iguales, sí, no, por qué?

Saludos
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mathtruco
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« Respuesta #8 : 09/01/2019, 11:18:16 pm »

Gracias, me tome el tiempo de investigar bien antes de hacer mi primer pregunta
(...)

Se nota, muchas gracias por eso, pero por favor no te olvides de escribir de la mejor forma posible (no olvides los tildes).


(...)
no no hice lo que vos decis, es más no entiendo lo que quisiste expresar, como dije en la pregunta al denominador llegue a esa conclucion pero en el numerador más bien fui probando distinto hasta que me salio algo, pero más bien me gustaria saber una explicacion de como encontrar la ecuacion de una funcion racional, algo que me parece raro es que si cancelamos (x-3) nos daria simplemente que X no puede valer 3 pero si 1.

Siguiendo con la explicación de manooooh, la expresión siguiente

    [texx]\dfrac{x}{x}=1[/texx]

sólo si [texx]x\neq 1[/texx]. Si no tenemos cuidado con "cancelar ceros" podemos llegar a contradicciones, como la famosa 2=1:

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Entonces, en tu pregunta:

    [texx]\dfrac{(x-3)(x-2)}{(x-3)(x-1)}=\dfrac{x-2}{x-1}[/texx]

sólo si [texx]x\neq 3[/texx] y [texx]x\neq 2[/texx].


Con lo anterior en mente, tómate unos minutos para analizar el comentario/pregunta de manooooh, es importante que lo tengas claro:


Como ejemplo, considerá las funciones [texx]f(x)=\dfrac xx[/texx] y [texx]g(x)=1[/texx]. ¿Son iguales, sí, no, por qué?



mathtruco te explicó por qué tu función se ajusta a las condiciones que pide el enunciado. Consideró las definiciones de asíntota horizontal y vertical en un punto.

No entiendo de limites

No puedes determinar las asíntotas verticales sin comprender los límites laterales, y en particular los límites que dan [texx]+\infty[/texx] o [texx]-\infty[/texx]. Esto al menos de manera intuitiva (gráfica). Esto significa que diste con la respuesta correcta sólo por suerte, porque habían dos opciones, que te explico a continuación.

Opción 1 (la que diste tú, la correcta):

    [texx]\displaystyle\lim_{x\to 1^+}\dfrac{x-2}{x-1}=\dfrac{1-2 \textrm{(numero negativo)}}{\textrm{tiende a cero por la derecha (es positivo)}}=-\infty[/texx]

Lo anterior quiere decir que a medida que nos acercamos a 1 por la derecha (es decir, por valores mayores a 1) la función se va a menos infinito, que es precisamente lo que muestra tu gráfica.


Opción 2 (que no sería correcta):

    [texx]\displaystyle\lim_{x\to 1^+}\dfrac{\color{red}2-x}{x-1}=\dfrac{2-1 \textrm{(numero positivo)}}{\textrm{tiende a cero por la derecha (es positivo)}}={\color{red}+}\infty[/texx]

lo que dice que que a medida que nos acercamos a 1 por la derecha (es decir, por valores mayores a 1, al igual que antes) la función se va a más infinito, que es distinto que la función que la gráfica de la función que te dan.



¿A qué te referís con una explicación de cómo encontrar una función racional? La definición la podés encontrar en la Wikipedia.

Entiendo lo que es una función racional, lo que no entiendo es como sacar la expresión analítica según un gráfico de una función racional, cual seria el procedimiento para sacarla.

Tu idea estaba bien, una función racional es la división de dos polinomios, y donde se haga cero el denominador son los candidatos a ser asíntotas verticales.
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« Respuesta #9 : 10/01/2019, 02:53:21 pm »

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Claro ahora entiendo todo, no podes hacer [texx](x-y)/(x-y)[/texx], ya que como ambos valdrían 1, [texx]x-y=0[/texx], estaríamos dividiendo por cero, ahora entiendo mejor todo( en realidad pusiste [texx]x-1[/texx] pero se da a entender que querías poner [texx]x-y[/texx])

Tu idea estaba bien, una función racional es la división de dos polinomios, y donde se haga cero el denominador son los candidatos a ser asíntotas verticales.

Viendo otro gráfico similar en el moduló se me ocurrió que es más simple de lo que pensaba



Me dio de resultado
[texx]F(x)=\displaystyle\frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x-4)}[/texx]

Utilizando el simple procedimiento de acomodar todo para que quede bien como que si X vale 3, Y va a valer 0 y que si X=0, Y vale [texx]\frac{3}{4}[/texx], no hay mucha magia en el tema.
yo esperaba algo como cuando sacas la cuadrática del gráfico.
[texx]y=a(x-x_0)+y_0[/texx]
Donde [texx] x_0 y_0[/texx] son el punto máximo o mínimo y [texx] x [/texx] e [texx]y[/texx] son un punto cualquiera de la función.
Lo que quiero decir es que en este caso no se sigue una formula para armar ecuaciones.
Podría dar este tema como resuelto, (no se si lo especifico en algún lugar o solo le pongo resuelto al titulo)

Gracias por todo.

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« Respuesta #10 : 10/01/2019, 04:25:18 pm »

Hola

Claro ahora entiendo todo, no podes hacer [texx](x-y)/(x-y)[/texx], ya que como ambos valdrían 1, [texx]x-y=0[/texx], estaríamos dividiendo por cero, ahora entiendo mejor todo( en realidad pusiste [texx]x-1[/texx] pero se da a entender que querías poner [texx]x-y[/texx])

Bien; sólo aclarar que [texx]x=y[/texx] no sólo puede valer [texx]1[/texx] sino que también se cumple [texx]2=2[/texx], [texx]0=0[/texx], etc.

Me dio de resultado
[texx]F(x)=\displaystyle\frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x-4)}[/texx]

Utilizando el simple procedimiento de acomodar todo para que quede bien como que si X vale 3, Y va a valer 0 y que si X=0, Y vale [texx]\frac{3}{4}[/texx], no hay mucha magia en el tema.

Sí, la función que propusiste es un caso particular de [texx]f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}[/texx]. Esta función es una racional porque es un cociente de dos polinomios.

Yo esperaba algo como cuando sacas la cuadrática del gráfico.

No entiendo muy bien qué querés decir con eso; toda función de variable real tiene alguna manera de representarse. Por ejemplo [texx]\ln(x-3)+1[/texx] es la función logaritmo en base [texx]e[/texx] desplazada [texx]3[/texx] unidades a derecha y [texx]1[/texx] unidad hacia arriba. Es un análisis más o menos efectivo. Cuando veas mejor límites y derivadas vas a poder graficar casi cualquier función con mucha más precisión.

[texx]y=a(x-x_0)+y_0[/texx]
Donde [texx] x_0 y_0[/texx] son el punto máximo o mínimo y [texx] x [/texx] e [texx]y[/texx] son un punto cualquiera de la función.

Ojo; si querés representar una forma de escribir la función cuadrática debés elevar al cuadrado, o sea [texx]y=a(x-x_0)^{\color{red}2}+y_0[/texx]. El punto o par [texx](x_0,y_0)[/texx] es también llamado "vértice" de la parábola y esa forma de representarla lleva el nombre de "canónica". Más acá.

Lo que quiero decir es que en este caso no se sigue una fórmula para armar ecuaciones.

No entiendo muy bien a qué punto querés llegar, pero por ejemplo la forma general de llamar a una función racional de primer grado es

[texx]f:\Bbb R\setminus\left\{-\dfrac dc\right\}\to\Bbb R\setminus\left\{\dfrac ac\right\}\mid f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d},\;a,b,c,d\in\Bbb R,[/texx]

la cuadrática en su forma polinómica es

[texx]f:\Bbb R\to\Bbb R\mid f(x)=ax^2+bx+c,\;a,b,c\in\Bbb R[/texx]

etcétera.

Podría dar este tema como resuelto, (no sé si lo especifico en algún lugar o sólo le pongo resuelto al título)

No es necesario; cualquier usuario puede entrar al hilo y preguntar por algo que no entendió de él.

Saludos
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« Respuesta #11 : 10/01/2019, 04:34:04 pm »

[texx]
\begin{array}{rcl}
x&=&y\\
x^2&=&xy\\
x^2-y^2&=&xy-y^2\\
(x-y)(x+y)&=&y(x-y)\\
\color{red}x+y&\color{red}=&\color{red}y
\end{array}
[/texx]
pero como partimos diciendo que [texx]x=y[/texx], de la última expresión obtenemos

[texx]
\begin{array}{rcl}
x+y&=&y\\
2x&=&x\\
2&=&1
\end{array}
[/texx]


El único error es el paso justo antes de lo que está en rojo: cancelamos los términos [texx]x-y[/texx], el problema está en que partimos diciendo (en la primera línea) que [texx]x=y[/texx], por lo que [texx]x-y=0[/texx], es decir, estamos diciendo e [texx]\frac{0}{0}=1[/texx], lo que no puede ser.


Lo que quiero decir es que en este caso no se sigue una formula para armar ecuaciones.
Podría dar este tema como resuelto, (no se si lo especifico en algún lugar o solo le pongo resuelto al titulo)
Gracias por todo.

Efectivamente, no es necesaria ninguna fórmula para hallar la función pedida.

Y no es necesario que marques en algún lugar que la pregunta ha sido resuelta, con indicarlo y agradecer (como hiciste) en un mensaje está ok. Acá las preguntas quedan abiertas por siempre, por si alguien más quiere aportar o preguntar.

P.D. Mientras escribía manooooh respondió, pero dejo mi respuesta igual por si ayuda a aclarar.
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