19/06/2019, 12:48:54 am *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: LISTADO ACTUALIZADO DE CURSOS
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Objeto universal de un funtor es único  (Leído 1940 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
malboro
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Perú Perú

Mensajes: 937



Ver Perfil
« : 09/01/2019, 10:50:53 pm »

Sea [texx]\mathfrak{C}[/texx] una categoría.
Para cada [texx]X\in \mathfrak{C}[/texx] definimos [texx]\mathcal{H}_X:\mathfrak{C}\to \textbf{Set}[/texx] de la siguiente manera:

[texx]\textbf{En objetos}[/texx]: Para cada [texx]U\in \mathfrak{C}[/texx] tenemos que  [texx]\mathcal{H}_XU:=Mor_{\mathfrak{C}}(U,X)[/texx]

[texx]\textbf{En flechas}[/texx]: Para cada flecha [texx]f:U\to V[/texx] en [texx]\mathfrak{C}[/texx] tenemos que

$$
\begin{array}{rccl}
\mathcal{H}_Xf:\mathcal{H}_XV:=Mor_{\mathfrak{C}}(V,X)&\longrightarrow&\mathcal{H}_XU:=Mor(U,X)\\ g&\mapsto&\mathcal{H}_Xf(g):=g\circ f
\end{array}
$$ 

es una flecha en [texx]\textbf{Set}[/texx].

Así definido [texx]\mathcal{H}_X[/texx] es un funtor contravariante.







Definición:

 Un funtor [texx]\mathcal{F}:\mathfrak{C} \to \textbf{Set}[/texx]  contravariante es dicho  [texx]\textbf{representable}[/texx]
 si [texx]\mathcal{F} \cong \mathcal{H}_X[/texx]  para algún [texx]X\in \mathfrak{C}[/texx].

Definición:

 Si  [texx]\mathcal{F}:\mathfrak{C} \to \textbf{Set}[/texx] es un funtor  contravariante  entonces un par [texx](X,a)[/texx]
 donde  [texx]X\in \mathfrak{C}[/texx] y [texx]a\in \mathcal{F}X [/texx] es un [texx]\textbf{objeto universal}[/texx] si para
 cada [texx]U\in \mathfrak{C}[/texx] y para cada [texx]b\in \mathcal{F}U[/texx] existe una única flecha [texx]f:U\to X[/texx]
 tal que [texx]\mathcal{F}f(a)=b[/texx].


Corolario:
Para cada [texx]A, B\in \mathfrak{C}[/texx] se tiene que [texx]f:A\to B[/texx] es un
  isomorfismo en [texx]\mathfrak{C}[/texx] sí y solo si [texx]\mathcal{H}_A\to \mathcal{H}_B[/texx]
  es un isomorfismo  en
   [texx][\mathfrak{C},\textbf{Set}][/texx].
   
    En otras palabras [texx]A\cong B[/texx]  sí y solo si [texx]\mathcal{H}_A\cong \mathcal{H}_B[/texx].


Los objetos universales de un funtor
[texx]\mathcal{F}:\mathfrak{C}\to \textbf{Set}[/texx] son únicos salvo isomorfismos. En efecto: Supongamos que un funtor   [texx]\mathcal{F}:\mathfrak{C}\to \textbf{Set} [/texx] es representado por dos objetos universales digamos [texx](X,a)[/texx] y [texx](Y,b)[/texx] entonces [texx]\mathcal{F} \cong \mathcal{H}_X[/texx] y [texx]\mathcal{F} \cong \mathcal{H}_Y[/texx], luego [texx]\mathcal{H}_X \cong \mathcal{H}_Y[/texx] entonces por el corolario obtenemos que [texx]X\cong Y[/texx]

Cómo pruebo que [texx]a=b[/texx] ?



En línea

Es verdad que un matemático que no tenga algo de poeta nunca será un matemático perfecto.
geómetracat
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 507



Ver Perfil
« Respuesta #1 : 10/01/2019, 08:02:13 am »

Te complicas la vida, cuando la teoría de categorías es simplicidad.  :guiño:

Antes de nada, fíjate que jamás podrás demostrar [texx]a=b[/texx], porque en general [texx]a \in F(X), b \in F(Y)[/texx] pero [texx]F(X)[/texx] y [texx]F(Y)[/texx] son conjuntos distintos, que bien pueden ser disjuntos. Uno de los principios de teoría de categorías es que normalmente solamente puedes demostrar isomorfismos, y solo muy raramente igualdades. Así que si te estás planteando demostrar una igualdad, deberías pensarlo dos veces.

Vamos al problema. Sea [texx]F:\mathcal{C} \rightarrow Set[/texx] un funtor contravariante y sea [texx](X,a)[/texx] un objeto universal para [texx]F[/texx].
Queremos ver que dos objetos universales [texx](X,a),(Y,b)[/texx] de [texx]F[/texx] son isomorfos. Lo primero es plantearse qué quiere decir que tales pares sean isomorfos. Claramente, no puede ser solamente que [texx]X\cong Y[/texx], porque entonces el elemento [texx]a \in F(X)[/texx] no jugaría ningún papel.
La respuesta es: dos pares [texx](X,a),(Y,b)[/texx] son isomorfos si existe un isomorfismo [texx]f:X \rightarrow Y[/texx] en [texx]\mathcal{C}[/texx] tal que [texx]F(f)(b)=a[/texx]. Pongo una explicación algo más sofisticada en spoiler.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Ahora, para demostrar lo que te piden no hace falta absolutamente nada de funtores representables ni Yoneda ni nada parecido. Solamente hay que tener claro lo que he explicado antes y usar la definición de objeto universal. Este es un argumento muy típico en categorías y en álgebra.

Como [texx](X,a)[/texx] es universal para [texx]F[/texx], existe una única flecha [texx]f:Y \rightarrow X[/texx] tal que [texx]F(f)(a)=b[/texx]. Como [texx](Y,b)[/texx] también es universal, hay una única flecha [texx]g:X \rightarrow Y[/texx] tal que [texx]F(g)(b)=a[/texx].
Ahora, tenemos que [texx]F(fg)(a) = F(g)F(f)(a) = F(g)(b)=a[/texx]. Pero la identidad [texx]id_X:X \rightarrow X[/texx] también cumple que [texx]F(id_X)(a)=a[/texx]. Como [texx](X,a)[/texx] es universal, por la unicidad de la definición debemos tener que [texx]gf = id_X[/texx]. De igual manera se comprueba que [texx]fg = id_Y[/texx]. Esto prueba que [texx]f:X \rightarrow Y[/texx] es un isomorfismo en [texx]\mathcal{C}[/texx] tal que [texx]F(f)(b)=a[/texx], como queríamos.
En línea

La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
malboro
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Perú Perú

Mensajes: 937



Ver Perfil
« Respuesta #2 : 10/01/2019, 07:21:21 pm »

Muchas gracias.
Tienes razón yo leí mal  :avergonzado:.
En unas notas que encontré, llaman a X de objeto representante donde (X,a) es objeto universal de un funtor F.
Y afirma que los objetos representantes son únicos, y usa el corolario que escribí.
En línea

Es verdad que un matemático que no tenga algo de poeta nunca será un matemático perfecto.
geómetracat
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 507



Ver Perfil
« Respuesta #3 : 11/01/2019, 09:03:15 am »

Muchas gracias.
Tienes razón yo leí mal  :avergonzado:.
En unas notas que encontré, llaman a X de objeto representante donde (X,a) es objeto universal de un funtor F.
Y afirma que los objetos representantes son únicos, y usa el corolario que escribí.

Todo eso es cierto, pero fíjate que es mucho más fácil demostrar directamente a partir de la definición que los objetos universales de [texx]F[/texx] son únicos, que todo lo que usa para el corolario. Además, la conclusión es más fuerte, porque te dice no solamente que [texx]X \cong Y[/texx], sino además te dice que son isomorfos via un isomorfismo que envía [texx]a[/texx] a [texx]b[/texx].

Un tema diferente es el siguiente teorema (que imagino que las notas que dices prueban antes del corolario): Si existe un objeto universal [texx](X,a)[/texx] para [texx]F[/texx], entonces [texx]F[/texx]  es representable por [texx]X[/texx]. Es decir, [texx]F \cong h_X[/texx].
Esto es algo más difícil de demostrar, y usa el lema de Yoneda. De hecho, un muy buen ejercicio en el lema de Yoneda y los objetos universales es demostrar este teorema. Te animo a que lo hagas sin mirar la demostración de las notas.
En línea

La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
malboro
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Perú Perú

Mensajes: 937



Ver Perfil
« Respuesta #4 : 12/01/2019, 09:14:46 am »

Gracias.
No está en esas notas pero yo escribí la prueba, justamente es una caracterización de cuando un funtor es representable.
No usé el Lema de Yoneda.   :¿eh?:

Puedo colocar la demostración que escribí?

Saludos
En línea

Es verdad que un matemático que no tenga algo de poeta nunca será un matemático perfecto.
geómetracat
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 507



Ver Perfil
« Respuesta #5 : 12/01/2019, 12:55:41 pm »

Claro, adelante. Ponla y le echamos un vistazo.
En línea

La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
malboro
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Perú Perú

Mensajes: 937



Ver Perfil
« Respuesta #6 : 12/01/2019, 01:51:28 pm »

Hola.
Adjuntaré la prueba.

* Captura_de_pantalla_de_2019-01-12_114406.png (203.09 KB - descargado 11 veces.)
* Captura_de_pantalla_de_2019-01-12_114421.png (163.02 KB - descargado 6 veces.)
* Captura_de_pantalla_de_2019-01-12_114432.png (192.94 KB - descargado 9 veces.)
* Captura_de_pantalla_de_2019-01-12_114443.png (157.77 KB - descargado 6 veces.)
En línea

Es verdad que un matemático que no tenga algo de poeta nunca será un matemático perfecto.
malboro
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Perú Perú

Mensajes: 937



Ver Perfil
« Respuesta #7 : 12/01/2019, 01:52:24 pm »

Falta una más.

* Captura_de_pantalla_de_2019-01-12_114452.png (197.07 KB - descargado 9 veces.)
En línea

Es verdad que un matemático que no tenga algo de poeta nunca será un matemático perfecto.
malboro
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Perú Perú

Mensajes: 937



Ver Perfil
« Respuesta #8 : 12/01/2019, 03:50:57 pm »

Espero se pueda descargar.

Gracias
En línea

Es verdad que un matemático que no tenga algo de poeta nunca será un matemático perfecto.
geómetracat
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 507



Ver Perfil
« Respuesta #9 : 13/01/2019, 01:25:13 pm »

Hombre, la próxima vez escríbelo en el foro o cuelga un pdf, que partido en capturas cuesta de leer.

La demostración está bien, efectivamente en eso estaba pensando. No usas explícitamente el lema de Yoneda (hay una biyección natural [texx]Nat(h_X, F) \cong F(X)[/texx]), pero sí usas la forma explícita de tal biyección: si [texx](X,a)[/texx] es un objeto universal para [texx]F[/texx], tomas como isomorfismo natural [texx]\tau:h_X \Rightarrow F[/texx] el que le corresponde a [texx]a \in F(X)[/texx] vía el lema de Yoneda, y viceversa, si [texx]\tau:h_X \Rightarrow F[/texx] es un isomorfismo natural, un objeto universal para [texx]F[/texx] viene dado por [texx](X,a)[/texx] donde [texx]a \in F(X)[/texx] es el elemento que corresponde a [texx]\tau[/texx] por el lema de Yoneda (que de hecho es [texx]a = \tau_X(id_X)[/texx]).
En línea

La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
malboro
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Perú Perú

Mensajes: 937



Ver Perfil
« Respuesta #10 : 19/01/2019, 02:19:42 am »

Muchas gracias.

Una pregunta curiosa, la categoría  [texx]Elts(F)[/texx] tiene objetos inicial, final?

Saludos



En línea

Es verdad que un matemático que no tenga algo de poeta nunca será un matemático perfecto.
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!