Hola
Suponiendo que no se introducen definiciones nuevas sino que se trabaja con las más comunes, también parece haber el matiz de que, por definición:
\begin{align}f'_+(x_0)=\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0};}\qquad\qquad (i) \end{align}
Pero también por definición:
\begin{align}f'({x_0}^+)=\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}{f'(x);}\qquad\qquad (ii)\end{align}
De manera que [texx](i)[/texx] sería calcular la derivada lateral de [texx]f[/texx] por definición, mientras que [texx](ii)[/texx] sería calcular el límite lateral de [texx]f'[/texx] sabiendo la expresión de [texx]f'[/texx]. Así que, según veo, ambas son iguales, pero propiamente [texx](ii)[/texx] se deduce de [texx](i)[/texx]. De hecho:
\begin{align}f'_+(x_0)=\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}\overset{(*)}{=}\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}{f'(x)}=f'(x_0^+);\end{align}
Donde en [texx](*)[/texx] se ha aplicado la regla de L'Hôpital.
Esta es mi interpretación de la explicación que me ha dado hoy mi profesor.
Gran ejemplo.
Hay que tener cuidado porque en general no es cierto que la derivada por la derecha de una función derivable coincida con el límite por la derecha de la derivada de la función (...)
¿Ejemplo, donde [texx]f'_+(x_0)\neq f'(x^+_0)[/texx]?
O sea parece que estás diciendo que algunas derivadas NO pueden ser calculadas mediante las operaciones fundamentales pues en algún entorno del punto a analizar la función puede tomar valores distintos, entonces en ese caso se debe recurrir al límite, ¿es así?
Saludos