Notación límites laterales

[Bobby Fischer]

Hola,


Puede definirse el límite lateral siguiente: \begin{align}f(x_0^+)=\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}{f(x);}\end{align}

Nunca lo he visto escrito como: \begin{align}f_+(x_0)=\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}{f(x);}\end{align}


Puede definirse el límite lateral siguiente: \begin{align}f'_+(x_0)=\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0};}\end{align}

Nunca lo he visto escrito como: \begin{align}f'({x_0}^+)=\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0};}\end{align}


En [texx](1)[/texx] y [texx](2)[/texx] creo que da igual la notación, pero en [texx](3)[/texx] y [texx](4)[/texx] creo que la elección de [texx](4)[/texx] puede deberse a cómo se define la derivada (de lo cual no tengo mucha idea).

[manooooh]

Hola

¿Cuál es la pregunta, dictaminar si las notaciones [texx](3)[/texx] y [texx](4)[/texx] son equivalentes?

Con respecto a la [texx](1)[/texx] y [texx](2)[/texx], yo siempre vi la primera, pero no sé si es igual o no que la segunda... Dependiendo del autor él puede usar una u otra y estaría igual de bien. Total en matemáticas se le dan los mismos nombres a muchas cosas distintas que podemos aceptar [texx](1)[/texx] y [texx](2)[/texx] como iguales .

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Puede definirse el límite lateral siguiente: \begin{align}f(x_0^+)=\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}{f(x);}\end{align}

Nunca lo he visto escrito como: \begin{align}f_+(x_0)=\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}{f(x);}\end{align}


Puede definirse el límite lateral siguiente: \begin{align}f'_+(x_0)=\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0};}\end{align}

Nunca lo he visto escrito como: \begin{align}f'({x_0}^+)=\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0};}\end{align}


En [texx](1)[/texx] y [texx](2)[/texx] creo que da igual la notación, pero en [texx](3)[/texx] y [texx](4)[/texx] creo que la elección de [texx](4)[/texx] puede deberse a cómo se define la derivada (de lo cual no tengo mucha idea).

Las notacions que yo conozco con la (1) y la (3). Tiene quizá mas sentido poner el signo al lado de la variable y no de la función, porque queremos indicar por donde nos acercamos al punto [texx]x_0[/texx].  A veces [texx]f_+[/texx] o [texx]f_-[/texx] se usa para indicar la parte positiva o negativa de una función y podría haber confusión con (2) o (4).

Pero en cualquier caso si alguien fija previamente que va a usar la notación (2) o (4) tampoco pasa nada.

Saludos.

[Bobby Fischer]

Suponiendo que no se introducen definiciones nuevas sino que se trabaja con las más comunes, también parece haber el matiz de que, por definición:

\begin{align}f'_+(x_0)=\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0};}\qquad\qquad (i) \end{align}

Pero también por definición:

\begin{align}f'({x_0}^+)=\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}{f'(x);}\qquad\qquad (ii)\end{align}

De manera que [texx](i)[/texx] sería calcular la derivada lateral de [texx]f[/texx] por definición, mientras que [texx](ii)[/texx] sería calcular el límite lateral de [texx]f'[/texx] sabiendo la expresión de [texx]f'[/texx]. Así que, según veo, ambas son iguales, pero propiamente [texx](ii)[/texx] se deduce de [texx](i)[/texx]. De hecho:

\begin{align}f'_+(x_0)=\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}\overset{(*)}{=}\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}{f'(x)}=f'(x_0^+);\end{align}

Donde en [texx](*)[/texx] se ha aplicado la regla de L'Hôpital.

Esta es mi interpretación de la explicación que me ha dado hoy mi profesor.

Saludos y gracias a los dos.

[Luis Fuentes]

Hola

Suponiendo que no se introducen definiciones nuevas sino que se trabaja con las más comunes, también parece haber el matiz de que, por definición:

\begin{align}f'_+(x_0)=\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0};}\qquad\qquad (i) \end{align}

Pero también por definición:

\begin{align}f'({x_0}^+)=\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}{f'(x);}\qquad\qquad (ii)\end{align}

De manera que [texx](i)[/texx] sería calcular la derivada lateral de [texx]f[/texx] por definición, mientras que [texx](ii)[/texx] sería calcular el límite lateral de [texx]f'[/texx] sabiendo la expresión de [texx]f'[/texx]. Así que, según veo, ambas son iguales, pero propiamente [texx](ii)[/texx] se deduce de [texx](i)[/texx]. De hecho:

\begin{align}f'_+(x_0)=\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}\overset{(*)}{=}\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}{f'(x)}=f'(x_0^+);\end{align}

Donde en [texx](*)[/texx] se ha aplicado la regla de L'Hôpital.

Esta es mi interpretación de la explicación que me ha dado hoy mi profesor.

Cuiado; efectivamente ese matiz es muy pertinente y lo pasé por alto.

Hay que tener cuidado porque en general no es cierto que la derivada por la derecha de una función derivable coincida con el límite por la derecha de la derivada de la función; igual que en general no tiene porque coincidir la derivada en un punto con el límite en el  punto de la derivada. Conciden sólo si la derivada es continua en ese punto.

Saludos.

[manooooh]

Hola

Suponiendo que no se introducen definiciones nuevas sino que se trabaja con las más comunes, también parece haber el matiz de que, por definición:

\begin{align}f'_+(x_0)=\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0};}\qquad\qquad (i) \end{align}

Pero también por definición:

\begin{align}f'({x_0}^+)=\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}{f'(x);}\qquad\qquad (ii)\end{align}

De manera que [texx](i)[/texx] sería calcular la derivada lateral de [texx]f[/texx] por definición, mientras que [texx](ii)[/texx] sería calcular el límite lateral de [texx]f'[/texx] sabiendo la expresión de [texx]f'[/texx]. Así que, según veo, ambas son iguales, pero propiamente [texx](ii)[/texx] se deduce de [texx](i)[/texx]. De hecho:

\begin{align}f'_+(x_0)=\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}\overset{(*)}{=}\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}{f'(x)}=f'(x_0^+);\end{align}

Donde en [texx](*)[/texx] se ha aplicado la regla de L'Hôpital.

Esta es mi interpretación de la explicación que me ha dado hoy mi profesor.

Gran ejemplo.

Hay que tener cuidado porque en general no es cierto que la derivada por la derecha de una función derivable coincida con el límite por la derecha de la derivada de la función (...)

¿Ejemplo, donde [texx]f'_+(x_0)\neq f'(x^+_0)[/texx]?

O sea parece que estás diciendo que algunas derivadas NO pueden ser calculadas mediante las operaciones fundamentales pues en algún entorno del punto a analizar la función puede tomar valores distintos, entonces en ese caso se debe recurrir al límite, ¿es así?

Saludos

[Bobby Fischer]

Hay que tener cuidado porque en general no es cierto que la derivada por la derecha de una función derivable coincida con el límite por la derecha de la derivada de la función (...)

¿Ejemplo, donde [texx]f'_+(x_0)\neq f'(x^+_0)[/texx]?

O sea parece que estás diciendo que algunas derivadas NO pueden ser calculadas mediante las operaciones fundamentales pues en algún entorno del punto a analizar la función puede tomar valores distintos, entonces en ese caso se debe recurrir al límite, ¿es así?

Saludos

A mí se me ocurre:

[texx]f(x)=\begin{cases} 0 & \text{si}& x\in \mathbb{Q}\\1 & \text{si}& x\in \mathbb{R\setminus\mathbb{Q}}\end{cases}[/texx]

Así que:

[texx]f'(x)=0 \quad \forall x \in \mathbb{R}[/texx]

Por tanto: [texx]f'(0^+)=\displaystyle\lim_{x \to 0^+}{f'(x)}=0;[/texx]

Sin embargo:

[texx]f'_+(0)=\displaystyle\lim_{x \to 0^+}{\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}}=\displaystyle\lim_{x \to 0^+}{\dfrac{f(x)}{x}}[/texx], que no está definido porque [texx]\displaystyle\lim_{x \to 0^+}{f(x)}[/texx] no está definido.

El descrito anteriormente es un caso para el que [texx]f'_+(x_0)\neq f'(x^+_0)[/texx], considerando [texx]x_0=0[/texx].

Saludos.

[manooooh]

Hola

Gracias por el ejemplo .

A mí se me ocurre:

[texx]f(x)=\begin{cases} 0 & \text{si}& x\in \mathbb{Q}\\1 & \text{si}& x\in \mathbb{R\setminus\mathbb{Q}}\end{cases}[/texx]

Así que:

[texx]f'(x)=0 \quad \forall x \in \mathbb{R}[/texx]

¿En qué rama de [texx]f[/texx] entra el dominio de su derivada, o sea [texx]\mathbb{R}[/texx]? Porque cada dominio de las funciones que resultan ser las derivadas de la original deben ser subconjuntos en sentido amplio de ella, pero [texx]\Bbb R\not\subseteq\Bbb Q[/texx] y [texx]\Bbb R\not\subseteq\Bbb R\setminus\Bbb Q[/texx] . ¿Qué no estoy viendo?

Saludos

[Bobby Fischer]

Sí, ahora veo que con el ejemplo anterior me he equivocado. De hecho, lo que he dicho entra en contradicción con mi segundo mensaje. No modifico nada de todas formas para no romper la línea de la argumentación.


Llevo largo rato pensando.

He llegado a la conclusión de que [texx]f_+(x_0)=f'(x_0^+);[/texx] pero no sabría explicar muy bien por qué.

[texx]f'_+(x_0)=\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}};[/texx]

[texx]f'(x_0^+)=\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}{f'(x)}=\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}{\displaystyle\lim_{z \to x}{\dfrac{f(z)-f(x)}{z-x}};}[/texx]

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

He llegado a la conclusión de que [texx]f_+(x_0)=f'(x_0^+);[/texx] pero no sabría explicar muy bien por qué.

[texx]f'_+(x_0)=\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}};[/texx]

[texx]f'(x_0^+)=\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}{f'(x)}=\displaystyle\lim_{x \to x_0^+}{\displaystyle\lim_{z \to x}{\dfrac{f(z)-f(x)}{z-x}};}[/texx]

No, eso no se cumple en general. Tienes un ejemplo sencillo modificando el tuyo adecuadamente:

[texx]f(x)=\begin{cases} 0 & \text{si}& x=0\\1 & \text{si}& x\in \mathbb{R\setminus\{0\}}\end{cases}[/texx]

Se tiene que [texx]f'(x)=f'_+(x)=f'_-(x)=0[/texx] para todo [texx]x\neq 0[/texx], mientras que [texx]f'(0),f'_+(0)[/texx] y [texx]f'_-(0)[/texx] no existen.

Entonces: [texx]f'(0^+)=\displaystyle\lim_{x \to 0^+}{}f'(x)[/texx] pero no coincide con [texx]f'_+(0)[/texx].

Saludos.

[Bobby Fischer]

¡Olé!

Muchas gracias.

Saludos.