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Autor Tema: Resto de Taylor  (Leído 225 veces)
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Bobby Fischer
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« : 16/01/2019, 03:44:17 pm »

Hola,

Me piden:

Demostrar que si [texx]f[/texx] es dos veces derivable en [texx]a[/texx], el resto de Taylor de orden [texx]2[/texx] cumple la condición [texx]R_2(x)=o(x-a)^2[/texx] en [texx]x=a[/texx].

La solución es la siguiente:

[texx]R_2(x)=f(x)-\Big{[}f(a)-f'(a)(x-a)+\dfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2\Big{]};[/texx]

[texx]R_2(x)=o(x-a)^2\Longleftrightarrow \displaystyle\lim_{x \to a}\dfrac{R_2(x)}{(x-a)^2}=0;[/texx]

[texx]\displaystyle\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)-\dfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2}{(x-a)^2}\overset{*}{=}\displaystyle\lim_{x \to a}\dfrac{f'(x)-f'(a)-f''(a)(x-a)}{2(x-a)}=\\~\\=\dfrac{1}{2}\displaystyle\lim_{x \to a}\dfrac{f'(x)-f'(a)}{x-a}-f''(a)=\dfrac{1}{2}\displaystyle\lim_{x \to a}f''(a)-f''(a)=0;[/texx]

Sin embargo, cuando lo intenté resolver, hice lo siguiente:

[texx]\displaystyle\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)-\dfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2}{(x-a)^2}=\displaystyle\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{(x-a)^2}-\dfrac{f'(a)}{(x-a)}-\dfrac{f''(a)}{2}=\displaystyle\lim_{x \to a}\dfrac{f'(a)}{(x-a)}-\dfrac{f'(a)}{(x-a)}-\dfrac{f''(a)}{2}=-\dfrac{f''(a)}{2};[/texx]

He estado intentando ver por qué no puedo hacer eso, pero se me escapa el motivo. Es cierto que se trata de una indeterminación, pero...
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mathtruco
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El gran profesor inspira


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« Respuesta #1 : 16/01/2019, 05:01:38 pm »

Hola Bobby Fischer.

Lo primero que haces me parece correcto (usar dos veces la Regla de L'Hôpital):

[texx]R_2(x)=f(x)-\Big{[}f(a)-f'(a)(x-a)+\dfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2\Big{]};[/texx]

[texx]R_2(x)=o(x-a)^2\Longleftrightarrow \displaystyle\lim_{x \to a}\dfrac{R_2(x)}{(x-a)^2}=0;[/texx]

[texx]\displaystyle\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)-\dfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2}{(x-a)^2}\overset{*}{=}\displaystyle\lim_{x \to a}\dfrac{f'(x)-f'(a)-f''(a)(x-a)}{2(x-a)}=\\~\\=\dfrac{1}{2}\displaystyle\lim_{x \to a}\dfrac{f'(x)-f'(a)}{x-a}-f''(a)=\dfrac{1}{2}\displaystyle\lim_{x \to a}f''(a)-f''(a)=0;[/texx]

Pero lo que hiciste después no es correcto, porque sólo puedes separar en suma de límites cuando los límites sumando existen.
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Bobby Fischer
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« Respuesta #2 : 16/01/2019, 05:49:15 pm »

Muchas gracias! Ahora lo he visto claro.

El límite de la suma es la suma de los límites siempre que éstos últimos estén definidos.

Saludos.
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