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Autor Tema: "La no demostrabilidad (~Bew(#~Bew(w)) ) no es una prueba" es demostrable en PA  (Leído 657 veces)
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Elius
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« : 08/01/2019, 02:58:30 am »

Estimados, les invito a una sesión en Academia.edu

Resumen
La noción de fórmula bien formada es fundamental para los sistemas formales. El sistema de Gödel tiene una definición para ella. Sin embargo, si el argumento de la fórmula que la expresa es el número de ella misma, vale lo mismo cuando el argumento del argumento es una fórmula bien formada que para una cadena al azar. Es decir, usando la cita en lugar de la numeración, EsFormula ("EsFormula (x)") siempre es verdadera, para cualquier valor de x. Esto trae impensadas consecuencias.


https://www.academia.edu/s/ab6beae46c/malformaciones-encriptadaa-tras-los-numeros-de-godelpdf?source=link
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geómetracat
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« Respuesta #1 : 08/01/2019, 03:24:09 pm »

He echado un vistazo al artículo, pero no acabo de entenderlo. He tenido problemas con la notación, que entiendo que es la original de Gödel, pero diría que he conseguido aclararme con ello. Paso a exponer mi objeción al artículo.

Yo diría que hay una diferencia fundamental entre [texx]Form(n)[/texx] (la cadena de signos con número de Gödel n es una fórmula bien formada) o [texx]Bw(n)[/texx] (n es el número de Gödel de una sucesión finita de fórmulas que codifica una demostración en el sistema formal) y [texx]Bew(n)[/texx] (n es el número de Godel de una fórmula demostrable en el sistema formal).

Es cierto que (suponiendo siempre el sistema formal consistente) [texx]Form(\#Form(n))[/texx] siempre es demostrable (pues [texx]Form(n)[/texx], donde n es un numeral, es siempre una fórmula bien formada, independientemente de lo que codifique n) y [texx]Bw(\#Bw(n))[/texx] o [texx]Bw(\# \neg Bw(n))[/texx] no es demostrable (pues [texx]\#Bw(n)[/texx] y [texx]\# \neg Bw(n)[/texx]  no codifican una sucesión finita de fórmulas, independientemente de quién sea n).
Pero estos razonamientos no se aplican a [texx]Bew(\#Bew(n))[/texx], que quiere decir: es demostrable en el sistema formal la fórmula [texx]Bew(n)[/texx]. En este caso, [texx]Bew(n)[/texx] (y también [texx]\neg Bew(n)[/texx]) es una fórmula bien formada, y por tanto puede ser demostrable o no en el sistema formal. A priori esto dependerá de [texx]n[/texx], y no hay ninguna razón para que sea demostrable [texx]Bew(\#Bew(n))[/texx] o [texx]\neg Bew(\# \neg Bew(n))[/texx].

En resumen, hay una diferencia esencial entre el caso de [texx]Bw[/texx] y el caso de [texx]Bew[/texx]: en el primer caso [texx]\neg Bw(\# \neg Bw(x))[/texx] es demostrable por razones estúpidas, mientras en el caso de [texx]Bew[/texx] no hay, a priori, tal razón "estúpida". En particular, no veo en absoluto justificado el salto que haces de [texx]Bw[/texx] a [texx]Bew[/texx].

Espero que se entienda lo que digo, si no dímelo y clarifico cualquier cosa.
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La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
Elius
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« Respuesta #2 : 08/01/2019, 11:50:46 pm »

Estimado geómetracat,

entiendo perfectamente todo lo que dices, e incluso puedo coincidir en lo de las "razones estúpidas", porque las demostraciones pueden obtenerse sin más que aplicar mecánicamente las definiciones.

Usé la notación original de Gödel, con citas de páginas y notas al pie, y esto puede parecer pedante. Pero en un tema tan controversial es preferible que la notación no sea un tema de debate. Por otra parte, encuentro que esa notación está aclarada, si hay alguna duda, hasta en sus más mínimos detalles, por las conferencias en Princeton de 1934, y por toda la literatura que se ha generado sobre ella.

El salto de [texx]Bw[/texx] a [texx]Bew[/texx] es más complicado, y tal vez sea necesario desarrollar una demostración paso a paso.

Intentaré ser más explícito la próxima semana.

Saludos

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