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Autor Tema: Radio de convergencia serie de Taylor.  (Leído 1154 veces)
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pepiso
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« : 07/01/2019, 01:57:17 pm »

Hola,
tengo el siguiente ejercicio calcular el radio de convergencia de la serie de Taylor de [texx]\frac{4+5z}{z^2+1}[/texx] sin calcular dicha serie.
Mi problema es que no tengo ninguna caracterización que me hable de como converge la serie de Taylor de una función y no se por donde atacarlo ademas, me he visto en el problema de que al hallar el radio de convergencia de las series de Taylor solo tengo caracterizaciones para hallar el radio de convergencia de la serie pero, no para hallar el radio de convergencia en la que converge a la función en concreto y se me hace extraño si alguien pudiera darme algo de luz sobre estos temas.
Un saludo
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Fernando Revilla
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« Respuesta #1 : 07/01/2019, 02:47:06 pm »

Hola, tengo el siguiente ejercicio calcular el radio de convergencia de la serie de Taylor de [texx]\frac{4+5z}{z^2+1}[/texx] sin calcular dicha serie.

Según un conocido teorema, si una función [texx]f(z)[/texx] es desarrollable en serie de potencias en un entorno de [texx]z_0[/texx], el radio de convergencia de de tal serie es la distancia de [texx]z_0[/texx] a la singularidad de [texx]f(z)[/texx] más próxima a [texx]z_0[/texx]. En nuestro caso, las singularidades de [texx]f(z)[/texx] son [texx]\pm i[/texx] por tanto el radio de convergencia de su serie de Maclaurin sería [texx]R=1[/texx].
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pepiso
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« Respuesta #2 : 07/01/2019, 05:26:23 pm »

Hola, gracias, recordaba haber usado ese teorema y estaba casi seguro de que era así, la cuestión es que en principio no tenemos material para usar dicho teorema quiero decir, no lo ha dado en clase.
Me podrías pasar una demostración del teorema?? Por favor, muchísimas gracias.
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Fernando Revilla
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« Respuesta #3 : 07/01/2019, 06:29:50 pm »

Me podrías pasar una demostración del teorema?? Por favor, muchísimas gracias.

Sin pérdida de generalidad consideramos [texx]z_0=0[/texx]. Es consecuencia inmediata del siguiente resultado: si [texx]f(z)[/texx] está representada por una serie de potencias [texx]\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n[/texx] de radio de convergencia [texx]R >0[/texx] y [texx]R_0 > R[/texx], es imposible que [texx]f(z)[/texx] sea analítica en [texx]\left |{z}\right |< R_0[/texx].

En efecto, si [texx]f(z)[/texx] fuera analítica en [texx]\left |{z}\right |< R_0[/texx], la serie de Taylor converge en [texx]\left |{z}\right |< R_0[/texx]. Como esta serie de Taylor coincide con [texx]\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n[/texx], habría de ser convergente para [texx]\left |{z}\right | < R_0[/texx] en contradicción de ser [texx]R[/texx] el radio de convergencia de [texx]\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n[/texx].
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pepiso
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« Respuesta #4 : 08/01/2019, 10:43:15 am »

Hola, no veo ningún resultado directo lo único que me has expresado es sobre el radio máximo de convergencia o por lo menos eso entiendo si podrías aclararlo un poco mas.
Gracias igualmente,
Un saludo.
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pepiso
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« Respuesta #5 : 08/01/2019, 01:23:55 pm »

Creo que has dado por hecho varias cosas que yo en principio no doy por hecho así que, te comento, si una función es holomorfa por que debe ser expresable como una serie de potencias de un único punto en todos los puntos donde sea holomorfa, quiero decir yo tengo que para cada punto existe un entorno donde se puede expresar como serie de potencias pero, una distinta para cada punto y a priorí con radios de convergencia distintos nada me dice que una serie de Taylor centrada en un punto sea igual a la función en todos los puntos donde es derivable solo se que si el radio de convergencia es mayor entonces, la función suma es igual a mi función y ese disco de convergencia quedara dentro de mi dominio de convergencia.
Si me puedes dar algo de luz, he intentado probarlo pero, no estoy muy seguro.
Un saludo.
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Fernando Revilla
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« Respuesta #6 : 10/01/2019, 03:51:16 am »

Otra forma de razonarlo. Si [texx]f(z)[/texx] es analítica en un entorno de [texx]z_0[/texx] y [texx]z_1[/texx] es la singularidad de [texx]f(z)[/texx] más próxima a [texx]z_0[/texx], entonces [texx]f(z)[/texx] es analítica en [texx]\left |{z-z_0}\right |< R'[/texx] siendo [texx]R'=d(z_0,z_1)[/texx]. Entonces, [texx]f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}(f^{(n)}(z_0)/n!)(z-z_0)^n[/texx] en [texx]\left |{z-z_0}\right |<R'[/texx] lo cual implica que el radio de convergencia [texx]R[/texx] de la serie es [texx]\ge R'.[/texx]

Si fuera [texx]R > R'[/texx] entonces, [texx]\sum_{n=0}^{+\infty}(f^{(n)}(z_0)/n!)(z-z_0)^n[/texx] representa una función analítica en [texx]\left |{z-z_0}\right |<R[/texx] con lo cual, [texx]f(z)[/texx] sería analítica en [texx]z_1[/texx] (absurdo). Concluimos que [texx]R=R'[/texx].
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« Respuesta #7 : 10/01/2019, 02:05:19 pm »

Es que, entramos en el mismo  problema, das por supuesto que yo entiendo que si la función es analítica en un punto su serie de Taylor de cualquier otro punto converge ahí, pero, no veo nada por lo que eso tenga que ocurrir ya que aunque sea analítica la expresión de su serie de Taylor es distinta en cada punto y yo solo se que es expresable como su serie de Taylor en un entorno del punto que no tiene por que coincidir con todos los valores donde la serie de Taylor converge o donde la función sea analítica solo se que sera menor o igual que el valor donde la serie converge o menor o igual que el valor donde la función es analítica en fin, listo las dos preguntas que me hago para intentar ser claro con mi duda,

1)partiendo de que la propiedad de ser analítica es una propiedad de un punto, dudo de lo siguiente, ¿Siempre que la función siga siendo analítica es expresable como serie de potencias de cualquier punto donde sea analítica? Es decir, ¿Sucede esto,
[texx]Sea\;z_0\in{\Omega}\;y\;f:\Omega\longrightarrow{\mathbb{C}}\Rightarrow{f(z)=\sum_{n=1}^\infty{\frac{f^n(z_0)}{n!}(z-z_0)^n}\;en\;z\;tal\;que\;f\;analitica\;en\;z?}[/texx]

2) Si f analítica su serie de Taylor converge únicamente a dicha función o puede existir una función F que sea igual a f en un entorno pero, distinta en general y la serie converge a F pero, en un radio mas pequeño a f. Es decir, con f definida como anteriormente,
[texx]Sea\;F_|\Omega=f\;y\;sí\;f(z)=\sum_{n=1}^\infty{\frac{f^n(z_0)}{n!}(z-z_0)^n}\;en\;\left |{z-z_0}\right |<R'\;pero\;la\;serie\;converge\;a\;F(z)=\sum_{n=1}^\infty{\frac{f^n(z_0)}{n!}(z-z_0)^n}\;en\;\left |{z-z_0}\right |<R\;verificando\;por\;supuesto\;0<R'<R\;y\;F\neq{f} [/texx]
Un saludo.
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« Respuesta #8 : 10/01/2019, 04:17:27 pm »

No podemos seguir de esta manera. Me explico, en el problema hablas de radio de converegencia de la serie de Taylor de una función. Las dos variantes que te he dado para la resolución del problema se deducen de propiedades elementales que se dan en cualquier libro y/o apuntes. Entonces, necesito que me hagas una relación de propiedades que hayáis visto en clase.

Si no habéis visto alguna de ellas, es probable que el espiritú del problema (en ausencia de alguna de las mencionadas propiedades) sea el siguiente: dado que la función dada se puede expresar en la forma:

         [texx]\displaystyle\frac{4+5z}{z^2+1}=\frac{A}{z-i}+\frac{B}{z+i}\quad A,B\in\mathbb{C},[/texx]

tanto [texx]f_1(z)=A/(z-i)[/texx] como [texx]f_2(z)=B/(z+i)[/texx] tienen un desarrollo en serie de Maclaurin convergente ambas en [texx]\left |{z}\right | < 1[/texx] y divergente ambas en [texx]\left |{z}\right |>1[/texx] (teorema de la serie geométrica). En consecuencia el radio de convergencia de la serie de Maclaurin de [texx]f(z)[/texx] es [texx]R=1.[/texx]

Hemos hallado el radio de convergencia de la serie de Maclaurin sin calcularla. Ahora bien, este método es restrictivo y sólo es válido para funciones de un cierto tipo, no para todas.
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« Respuesta #9 : 11/01/2019, 02:10:48 pm »

Me parece una buena respuesta, conozco las propiedades de las que hablas por que las he leído y utilizado en otras asignaturas pero, no se me han explicado en la asignatura que estoy cursando de variable compleja.
De igual manera mi duda ya fue resuelta utilizando un resultado que afirma que, si los ceros de una función analítica tienen un punto de acumulación entonces, la función en ese punto también vale cero. Con eso puedo extender la analiticidad de la función.
Aunque, e puede ser algo pobre el desarrollo de la teoría sobre funciones holomorfas aunque, puede que se amplié.
Un saludo.
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