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Autor Tema: Duda integral de contorno.  (Leído 839 veces)
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pepiso
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« : 04/01/2019, 03:17:38 pm »

Hola,

 tengo un problema respecto a un ejercicio resuelto, el siguiente:

Resolver la integral [texx]\displaystyle\int_C(x^2+iy^3)dz[/texx] donde [texx]C[/texx] es el segmento rectilineo desde [texx]z=1\;a\;z=i[/texx].

El segmento es el siguiente

    [texx]z(x)=x+(1-x)i[/texx] (en la resolución agregan que no van usar una parametrización de [texx]t[/texx] para simplificar las cuentas)

ahora hacen [texx]y=x[/texx] cosa que no entiendo y lo colocan en la integral quedando

    [texx]\displaystyle\int_{1}^{0}(x^2+ix^3)dx[/texx]

multiplican la derivada la curva [texx]z'(x)=(1-i)[/texx] y [texx]\displaystyle\int_{1}^{0}(x^2+ix^3)(1-i)dx[/texx] y resuelven.

Yo resolví como entiendo el ejercicio tomando la parametrización [texx]z(t)=t+i(1-t)[/texx] y nos queda,
[texx]\displaystyle\int_{1}^{0}(t^2+(1-t)^3)(1-i)dt[/texx] y resuelvo, lo curioso es que ambos razonamientos dan el mismo resultado pero, no entiendo el del ejercicio resuelto.
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Masacroso
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« Respuesta #1 : 04/01/2019, 05:24:54 pm »

Usando la parametrización [texx]z(t):=t+(1-t)i[/texx] entonces se está parametrizando el segmento dicho en dirección de [texx]i[/texx] a [texx]1[/texx], por eso aparecen los límites de integración invertidos (es decir, parece ser que se integra en dirección de [texx]1[/texx] a [texx]i[/texx]).

Entonces si [texx]\Re(z(t))=t[/texx] y [texx]\Im(z(t))=1-t[/texx], y yo entiendo que [texx]x[/texx] e [texx]y[/texx], en la integral, representan la parte real e imaginaria de [texx]z[/texx], entonces ¿no debería quedar así la integral?:

[texx]\displaystyle \int_1^0 (t^2+(1-t)^3 i)(dt-i dt)=\int_1^0 (t^2+(1-t)^3 i)(1-i)\, dt[/texx]

No sé de dónde sale el [texx]x^3[/texx] ya que se parametriza la parte imaginaria como [texx]1-x[/texx] en cualquier caso. No sé lo que habrán hecho. A lo mejor estoy pasando algo por alto.

P.D.: no es una integral de contorno, es una integral de línea en el plano complejo.
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pepiso
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« Respuesta #2 : 04/01/2019, 08:35:20 pm »

Hola,
pues, si eso fue lo que hice yo lo que no entiendo es de donde sale la solución que me daban de ese ejercicio, es un ejercicio resuelto de un libro que encontré así que no se...
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #3 : 07/01/2019, 04:34:57 am »

Hola

 Sin más explicación yo tampoco veo lo que hacen. Rizando un poquito el rizo:

[texx]\displaystyle\int_{C}(x^2+iy^3)dz=\displaystyle\int_{C}x^2dz+\displaystyle\int_{C}iy^3dz[/texx]

 Si la primera integral hace usando la curva [texx]x+(1-x)i[/texx] y la segunda [texx](1-x)+xi[/texx] queda:

[texx]\displaystyle\int_{1}^0x^2(1-i)dx+\displaystyle\int_{0}^{1}ix^3(i-1)dx=\displaystyle\int_{1}^0(x^2+ix^3)(1-i)dx[/texx]

Saludos.
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pepiso
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« Respuesta #4 : 07/01/2019, 11:06:12 am »

P.D.: no es una integral de contorno, es una integral de línea en el plano complejo.
Hola, pase esto por alto cuando te leí y me interesa mucho ya que me han explicado la integral de contorno como una integral sobre un contorno que me lo han definido como,
una aplicación regular a trozos de un intervalo I a C (algo así como una curva en R^3).
La cuestión es que al leer sobre estas cosas no he visto ninguna relación a este termino y yo también lo entendía como una integral en linea sobre el campo complejo, si me podrías explicar un poco mas detalladamente que es un contorno y por que son distintas las integrales de linea y de contorno.
Un saludo.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #5 : 07/01/2019, 02:53:27 pm »

Hola

P.D.: no es una integral de contorno, es una integral de línea en el plano complejo.
Hola, pase esto por alto cuando te leí y me interesa mucho ya que me han explicado la integral de contorno como una integral sobre un contorno que me lo han definido como,
una aplicación regular a trozos de un intervalo I a C (algo así como una curva en R^3).
La cuestión es que al leer sobre estas cosas no he visto ninguna relación a este termino y yo también lo entendía como una integral en linea sobre el campo complejo, si me podrías explicar un poco mas detalladamente que es un contorno y por que son distintas las integrales de linea y de contorno.

Una integral de contorno es un caso particular de integral de línea; simplemente se llama de contorno cuando la integral de línea se hace sobre una curva cerrada, es decir, una curva en la que coincide el punto inicial y final.

Saludos.
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pepiso
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« Respuesta #6 : 07/01/2019, 05:23:31 pm »

Muchas gracias, en ese caso un contorno es una curva de jordán, entiendo.
Lo que no me queda claro es entonces, por que mi profesora escogió usar la definición de contorno para definir una curva en C.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #7 : 08/01/2019, 04:09:49 am »

Hola

Muchas gracias, en ese caso un contorno es una curva de jordán, entiendo.

En realidad una curva de Jordan es más exigente, porque no puede tener autointersecciones. En un contorno si están permitidas. En otras palabras en la curva de Jordan la parametrización es inyectiva si excluimos el punto final; en un contorno no exigimos esto.

Cita
Lo que no me queda claro es entonces, por que mi profesora escogió usar la definición de contorno para definir una curva en C.

No se.

Saludos.
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« Respuesta #8 : 08/01/2019, 10:48:41 am »

Vale, gracias, es cierto me suena eso también.
Un saludo.
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