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Autor Tema: Función constante  (Leído 1044 veces)
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Julio_fmat
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« : 07/01/2019, 01:47:35 am »

Sea [texx]S[/texx] una superficie conexa, parametrizada por [texx]\varphi:
U\to S[/texx] con normal unitaria [texx]N[/texx] y que consiste únicamente de puntos umbilicales. Es decir, [texx]dN_p (v)=k(p)v[/texx], donde [texx]k(p)[/texx] es una función de [texx]p[/texx] con valores en [texx]\mathbb{R}[/texx].

a) Demuestra que [texx]k(p)[/texx] es constante, digamos [texx]k_0[/texx], en [texx]S[/texx].

b) Si [texx]k_0\ne 0[/texx], entonces demuestra que la función [texx]h(u,v)=\varphi(u,v)+\dfrac{N}{k_0}[/texx] tiene valor constante [texx]p_0[/texx] para algún [texx]p_0\in \mathbb{R}^3.[/texx]

Hola. Para a), notamos que la función es constante si y solo si la derivada en el punto es cero. Es decir, [texx]k'(p)=0, \forall p\in S.[/texx]

El b) no lo sé hacer...
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Julio_fmat
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« Respuesta #1 : 07/01/2019, 04:47:42 pm »

Hola, ¿alguien me puede ayudar?
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Luis Fuentes
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« Respuesta #2 : 08/01/2019, 04:23:27 am »

Hola

 Yo creo que debería de ser:

[texx]h(u,v)=\varphi(u,v)\color{red}-\color{\black}\dfrac{N}{k_0}[/texx]

 En ese caso las parciales son nulas:

[texx] h_u=\varphi_u-\dfrac{N_u}{k_0}=\varphi_u-\dfrac{dN(\varphi_u)}{k_0}=\varphi_u-\dfrac{k_0 \varphi_u}{k_0}=0[/texx]

 (idem para [texx]h_v[/texx]). Si las parciales son nulas en todo punto la función es constante.

Saludos.
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« Respuesta #3 : 15/02/2019, 01:58:24 pm »

Hola

 Yo creo que debería de ser:

[texx]h(u,v)=\varphi(u,v)\color{red}-\color{\black}\dfrac{N}{k_0}[/texx]

 En ese caso las parciales son nulas:

[texx] h_u=\varphi_u-\dfrac{N_u}{k_0}=\varphi_u-\dfrac{dN(\varphi_u)}{k_0}=\varphi_u-\dfrac{k_0 \varphi_u}{k_0}=0[/texx]

 (idem para [texx]h_v[/texx]). Si las parciales son nulas en todo punto la función es constante.

Saludos.

Muchas Gracias, me ha quedado claro. El ítem a) como lo podemos hacer?

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« Respuesta #4 : 21/02/2019, 06:48:20 pm »

Perdón por doble postear, pero aun no he podido sacar el a)  :BangHead:. ¿Me pueden ayudar? Cómo demuestro que es constante...
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« Respuesta #5 : 22/02/2019, 03:47:32 am »

Hola

Perdón por doble postear, pero aun no he podido sacar el a)  :BangHead:. ¿Me pueden ayudar? Cómo demuestro que es constante...

Lo tienes probado en el enlace que te indiqué aquí:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=108033.msg426607#msg426607

Saludos.
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« Respuesta #6 : 25/02/2019, 08:24:29 pm »

Hola

Perdón por doble postear, pero aun no he podido sacar el a)  :BangHead:. ¿Me pueden ayudar? Cómo demuestro que es constante...

Lo tienes probado en el enlace que te indiqué aquí:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=108033.msg426607#msg426607

Saludos.

Muchas Gracias, nuevamente guiado por el Do Carmo, la solución es la siguiente:

Sea [texx]p\in S[/texx] y sea [texx]\varphi: U\to S[/texx] una parametrizacion de [texx]S[/texx] en [texx]p[/texx] tal que el entorno coordenado [texx]V[/texx] es conexo. Como cada punto [texx]q\in V[/texx] es un punto umbilical (por hipótesis), tenemos que para cualquier vector [texx]w=a_1x_u+a_2x_v[/texx] en [texx]T_q (S)[/texx], se tiene que [texx]dN(w)=k(q)w[/texx], donde [texx]k=k(q)[/texx] es una función real y diferenciable en [texx]V[/texx]. Primero demostramos que [texx]k(q)[/texx] es constante en [texx]V[/texx]. Para ello, escribimos la ecuación de arriba en la forma [texx]dN(w)=N_u a_1+N_v a_2=k (x_u a_1+x_v a_2)[/texx], de donde, como [texx]w[/texx] es arbitrario, se tiene que [texx]N_u=k \varphi_u[/texx] y [texx]N_v=k \varphi_v[/texx]. Derivando la primera ecuación con respecto a [texx]v[/texx] y la segunda con respecto a [texx]u[/texx], se tiene [texx]N_{vu}=k_v \varphi_{vu}[/texx] y [texx]N_{uv}=k_u\varphi_{uv}[/texx]. Como [texx]\varphi_{uv}[/texx] y [texx]\varphi_{vu}[/texx] son linealmente dependientes, concluimos que [texx]k_u=k_v=0,[/texx] para todo [texx]q\in V.[/texx] Lo que muestra que [texx]k[/texx] es constante en [texx]V[/texx], y por lo tanto, [texx]k(p)[/texx] es constante en [texx]S[/texx].

¿Esta bien?
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« Respuesta #7 : 26/02/2019, 05:59:18 am »

Hola

Sea [texx]p\in S[/texx] y sea [texx]\varphi: U\to S[/texx] una parametrizacion de [texx]S[/texx] en [texx]p[/texx] tal que el entorno coordenado [texx]V[/texx] es conexo. Como cada punto [texx]q\in V[/texx] es un punto umbilical (por hipótesis), tenemos que para cualquier vector [texx]w=a_1x_u+a_2x_v[/texx] en [texx]T_q (S)[/texx], se tiene que [texx]dN(w)=k(q)w[/texx], donde [texx]k=k(q)[/texx] es una función real y diferenciable en [texx]V[/texx]. Primero demostramos que [texx]k(q)[/texx] es constante en [texx]V[/texx]. Para ello, escribimos la ecuación de arriba en la forma [texx]dN(w)=N_u a_1+N_v a_2=k (x_u a_1+x_v a_2)[/texx], de donde, como [texx]w[/texx] es arbitrario, se tiene que [texx]N_u=k \varphi_u[/texx] y [texx]N_v=k \varphi_v[/texx]. Derivando la primera ecuación con respecto a [texx]v[/texx] y la segunda con respecto a [texx]u[/texx], se tiene [texx]N_{vu}=k_v \varphi_{vu}[/texx] y [texx]N_{uv}=k_u\varphi_{uv}[/texx].

Está mal derivado. Tienes que usar la regla de la cadena:

[texx]N_{uv}=k_v\varphi_u+k\varphi_{uv}[/texx]
[texx]N_{vu}=k_u\varphi_v+k\varphi_{vu}[/texx]

Ahora como [texx]N_{uv}=N_{vu}[/texx] y [texx]\varphi_{uv}=\varphi_{vu}[/texx] se tiene que:

[texx]k_v\varphi_u=k_u\varphi v[/texx]

y ahora si, como [texx]\varphi_u,\varphi_v[/texx] son independientes se deduce que [texx]k_v=k_u=0.[/texx]

Saludos.
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