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Autor Tema: Teorema de Taylor e inducción matemática.  (Leído 1014 veces)
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Albersan
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« : 06/01/2019, 09:08:40 pm »


Hola, tengo una demostración que me genera algunas dudas así es que la voy a desarrollar.


Teorema de Taylor: Supóngase que [texx]f[/texx] es [texx]n[/texx] veces derivable en un intervalo [texx]I[/texx] que contiene a [texx]x_0[/texx], donde [texx]x\neq{x_0}[/texx] y [texx]f^{n+1}(x)[/texx] existe para todo[texx]x[/texx] de [texx]I[/texx], entre [texx]x[/texx], [texx]x_0[/texx]. Si [texx]T_n[/texx] y [texx]R_n[/texx] están bien definidos, entonces existe un [texx]t\in{I}[/texx]  tal que [texx]R_n(x)=\displaystyle\int_{x_0}^{x}{(x-t)^n}\displaystyle\frac{f^{n+1}(t)}{n!}dt[/texx].

Demostración: Se hará por inducción. Para [texx]n=1[/texx] [texx]R_1(x)=f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)[/texx] de donde      [texx]R_1(x)=\displaystyle\frac{1}{1!}((x-x)f'(x)-(x-x_0)f'(x_0)+\displaystyle\int_{x_0}^{x}f'(t)dt)[/texx], luego         [texx]R_1(x)=\displaystyle\frac{1}{1!}(((x-t)f'(t))|_{x_0}^{x}-\displaystyle\int_{x_0}^{x}f'(t)(-dt))[/texx]   y   
      [texx]R_1(x)=\displaystyle\frac{1}{1!}\displaystyle\int_{x_0}^{x}(x-t)f''(t)dt[/texx]     

Ahora se supondrá que es válido para un natural [texx]k[/texx], es decir      [texx]R_k(x)=\displaystyle\int_{x_0}^{x}(x-t)^k\displaystyle\frac{f^{k+1}(t)}{k!}dt[/texx]  y veremos si es válido para [texx]k+1[/texx]


[texx]\displaystyle\int_{x_0}^{x}(x-t)^{k+1}\displaystyle\frac{f^{k+2}(t)}{(k+1)!}dt[/texx]           [texx]=[/texx]   [texx]\displaystyle\frac{1}{(k+1)!}((((x-t)^{k+1}f^{k+1}(t))|_{x_0}^{x}+(k+1)\displaystyle\int_{x_0}^{x}(x-t)^{k}f^{k+1}(t)dt)[/texx]    [texx]=[/texx]             [texx]\displaystyle\frac{1}{(k+1)!}((x-x)^{k+1}f^{k+1}(x)-(x-x_0)^{k+1}f^{k+1}(x_0)+(k+1)\displaystyle\int_{x_0}^{x}(x-t)^{k}f^{k+1}(t)dt)[/texx]              [texx]=-\displaystyle\frac{(x-x_0)^{k+1}f^{k+1}(x_0)}{(k+1)!}+R_k[/texx]   

 [texx]=-\displaystyle\frac{(x-x_0)^{k+1}f^{k+1}(x_0)}{(k+1)!}+f(x)-T_{k}(x)[/texx]            [texx]=-\displaystyle\frac{(x-x_0)^{k+1}f^{k+1}(x_0)}{(k+1)!}+f(x)-\displaystyle\sum_{i=0}^k{\displaystyle\frac{f^{i}(x_0)}{i!}}(x-x_0)^{i}[/texx]    =          [texx]f(x)-\displaystyle\sum_{i=0}^{k+1}{\displaystyle\frac{f^{i}(x_0)}{i!}}(x-x_0)^{i}[/texx]    [texx]=[/texx]   
     
  [texx]f(x)-T_{k+1}(x)=R_{k+1}(x)[/texx]


Se ha probado por inducción que para cualquier natural el residuo cumple con la integral deseada. Pero lo que no comprendo es qué ocurre cuando una función determinada no posee derivada más allá de un [texx]n\in{\mathbb{N}}[/texx] determinado. ¿Sigue siendo la inducción un método para demostrar que una propiedad se cumple hasta un determinado [texx]n\in{\mathbb{N}}[/texx] finito?.

Por ejemplo la hipótesis del problema establece [texx]f[/texx] es [texx]n[/texx] veces derivable en [texx]I[/texx]. No sé si esto equivale a decir que [texx]f[/texx] tiene como mínimo la existencia de las primeras [texx]n[/texx] derivadas en [texx]I[/texx], como puede suceder que las haya de orden superior. Y aquí me vuelve a surgir la duda de si el método de inducción se puede utilizar para conjuntos finitos de numeros naturales.

A ver si me pueden ayudar por favor,

Muchísimas gracias.
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Masacroso
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« Respuesta #1 : 06/01/2019, 10:42:24 pm »

La inducción se sigue cumpliendo ya que no existe una derivada [texx]n+1[/texx] y por tanto es una verdad vacua en ese caso. Es decir, dado una implicación lógica [texx]A\implies B[/texx] si [texx]A[/texx] es falsa entonces la implicación es cierta independientemente del valor de verdad que tenga [texx]B[/texx].

O dicho de otro modo: a partir de una condición falsa se puede afirmar cualquier cosa, como diría Bertrand Russell hace algo menos de un siglo y medio.

CORRECCIÓN: no, no ha pasado tanto tiempo (todavía), desde la afirmación de Russell.
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Albersan
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« Respuesta #2 : 09/01/2019, 03:36:45 pm »

Hola Masacroso:

Sabe que no contesté antes por falta de argumentos. Es primera vez que hago este tipo de demostración ya que en mi libro de Cálculo y en general en este tema no se hace referencia a vacuidad. De todas formas me interesa, así que voy a tratar de escribir lo que entiendo.

Demostrar por inducción que [texx]R_n(x)=\displaystyle\frac{1}{n!}\displaystyle\int_{a}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)dt[/texx] y supongamos que [texx]f[/texx] admite derivadas continuas hasta orden [texx]7[/texx].

El caso base [texx]R_1[/texx] es válido por lo demostrado anteriormente. Queda probar que  [texx]R_n[/texx] implica [texx]R_{n+1}[/texx] es verdadera para todo[texx]n\in{\mathbb{N}}[/texx].

Tenemos que dado [texx]R_1[/texx] verdadero tenemos que [texx]R_2[/texx]   es verdadero. Dado que [texx]R_2[/texx] es verdadero  tenemos que [texx]R_3[/texx]  es verdadero. Dado que [texx]R_3[/texx]  es verdadero [texx]R_4[/texx]  es verdadero . Dado que [texx]R_4[/texx]  es verdadero [texx]R_5[/texx]  es verdadero. Dado que [texx]R_5[/texx]  es verdadero, [texx]R_6[/texx] es verdadero.   

El caso [texx]R_6[/texx], [texx]R_7[/texx]  tengo una confusión. [texx]R_7[/texx]  no existe pues toma derivada [texx]f^{(8)}[/texx]   la cual no es continua. ¿Qué hago aquí?

De aquí en adelante : Dado que [texx]R_8[/texx] es falsa, esto implica [texx]R_9[/texx]  verdadero por vacuidad. Dado que [texx]R_9[/texx]   es falsa, implica  [texx]R_{10}[/texx] verdadero por  vacuidad, y así en adelante.

Por lo tanto  todo natural cumple la propiedad [texx]R_n[/texx]    (A excepción del caso [texx]R_6[/texx]  [texx] R_7[/texx]    )     

No sé si está bien, pues hay conceptos que no había visto nunca, o puede ser que haya cosas buenas y otras malas.

Atento a comentarios por favor,

Muchísimas gracias.                                                                                                                                           
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 10/01/2019, 07:05:11 am »

Hola

 Pero creo que te estás complicando innecesariamente. Cuando probamos que una propiedad [texx]P(n)[/texx] es cierta para todo [texx]n\in \mathbb{N}[/texx] (sea por inducción o por cualquier otro método), luego la podemos aplicar para cualquier [texx]n_0[/texx] concreto. Es decir por ejemplo sabemos que [texx]P(7)[/texx] es cierta.

 Entonces si tenemos que una función [texx]f [/texx]es [texx]7[/texx] veces derivable le podemos aplicar [texx]P(6)[/texx] (fíjate que para aplicar [texx]P(n)[/texx] necesitamos que [texx]f[/texx] sea [texx]n+1[/texx] veces derivable).

 Es lo mismo que cuando probamos por inducción la fórmula:

[texx] \displaystyle\sum_{k=1}^n{}k=\dfrac{n(n+1)}{2}[/texx]

 luego la podemos aplicar para cualquier [texx]n[/texx]:

[texx] \displaystyle\sum_{k=1}^7{}k=\dfrac{7(7+1)}{2}[/texx]

Saludos.
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Albersan
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« Respuesta #4 : 10/01/2019, 11:03:22 pm »

Buenas noches.

He estado estudiando hoy el problema, y creo saber en donde cometo el  error. El teorema tiene 3 condiciones como hipótesis, y obviamente no las estoy respetando. Es decir, estoy demostrando por inducción una propiedad, pero dicha propiedad se satisface si se cumplen las hipótesis del teorema.

Dado que se cumplen las hipótesis del teorema, es que puedo demostrar que dicha propiedad se cumple para todo [texx]n\in{\mathbb{N}}[/texx] por inducción.

Por ejemplo para el paso inductivo se supone que el teorema es verdadero para [texx]n=k[/texx] (es decir, se cumplen todas las hipótesis del teorema). Por lo tanto es verdadero [texx]R_k=\displaystyle\int_{a}^{x}(x-t)^kf^{(k+1)}(t)dt[/texx]    y directamente se prueba que  [texx]R_{k+1}[/texx]  es verdadero. 



Por favor algún comentario.


Muchísimas gracias.                                                                                                                                                 
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